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圆系方程问题再探讨

  • 投稿shya
  • 更新时间2015-08-30
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江苏省丹阳高级中学(212300)史建军

1.问题背景

文\[1\]及文\[2\]讨论了⊙C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0及⊙C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0无公共点时,方程x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0的意义,但均没有指明方程表示何种曲线。

本文试图通过对方程x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0及x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0的分析,从而阐明:当直线l与⊙M及⊙C1与⊙C2相交(以下简称“相交圆系”)时,上述方程一定表示圆;当直线l与⊙M及⊙C1与⊙C2不相交(以下简称“非相交圆系”)时,上述方程可能表示何种曲线。

2.探究一:“相交圆系”方程一定表示圆吗?

定理1若直线l:Ax+By+C=0和⊙M:x2+y2+Dx+Ey+F=0相交,则经过两交点的圆系方程:

x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0一定表示圆。

证明:∵x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0,

∴x2+y2+(D+λA)x+(E+λB)y+F+λC=0,

∴(x+D+λA2)2+(y+E+λB2)2

=(D+λA)2+(E+λB)2-4(F+λC)4,

判断上式是否表示圆,只需验证

T=(D+λA)2+(E+λB)2-4(F+λC)>0是否成立,∵⊙M与直线l相交,故有

-AD2-BE2+CA2+B2<D2+E2-4F2,化简得

(A2+B2)(D2+E2-4F)>|AD+BE-2C|,

∴(AD+BE-2C)2<(A2+B2)(D2+E2-4F),

∵T=(D+λA)2+(E+λB)2-4(F+λC)

=D2+E2-4F+2λ(DA+BE-2C)+λ2(A2+B2),

∵直线l为定直线,⊙M为定圆,

∴A,B,C,D,E,F均为常数,

∴T=f(λ)可视为关于λ的二次函数,

Δ=4\[(DA+BE-2C)2-(A2+B2)(D2+E2-4F)\]<0,∴T=f(λ)>0恒成立,

又圆心坐标满足:-E+λB2+E2-D+λA2+D2·(-AB)=-1,

∴x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0表示圆心在过M且与直线l垂直的直线上的圆。

定理2若⊙C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和

⊙C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交,则经过两交点的圆系方程:x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2

+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)一定表示圆。

证明:∵x2+y2+D1x+E1y+F1

+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0,

∴(1+λ)x2+(1+λ)y2+(D1+λD2)x

+(E1+λE2)y+F1+λF2=0,

∴x2+y2+D1+λD21+λx+E1+λE21+λy+F1+λF21+λ=0,

∴x+D1+λD22(1+λ)2+y+E1+λE22(1+λ)2

=

(D1+λD2)2+(E1+λE2)2-4(1+λ)(F1+λF2)4(1+λ)2,

判断上式是否表示圆,只需验证:

T=(D1+λD2)2+(E1+λE2)2-4(1+λ)(F1+λF2)>0是否成立,

∵⊙C1与⊙C2相交,

∴|O1O2|<r1+r2,

∴D21+E21-4F12+D22+E22-4F22

>(D12-D22)2+(E12-E22)2,

平方得D21+E21-4F1·D22+E22-4F2

>2F1+2F2-D1D2-E1E2。

又∵|O1O2|>|r1-r2|,故有

∴D21+E21-4F12-D22+E22-4F22

<(D12-D22)2+(E12-E22)2,

平方得

-D21+E21-4F1·D22+E22-4F2

<2F1+2F2-D1D2-E1E2,∴|2F1+2F2-D1D2-E1E2|<D21+E21-4F1·D22+E22-4F2。

∴T=(D1+λD2)2+(E1+λE2)2-4(1+λ)(F1+λF2)

=(D21+E21-4F1)+λ2(D22+E22-4F2)

+2λ(D1D2+E1E2-2F1-2F2)。

∵⊙C1和⊙C2为定圆,故在上式中因D1,E1,F1,D2,E2,F2均为常数,

∴T=f(λ)可视为关于λ的二次函数,

∵Δ=4\[(D1D2+E1E2-2F1-2F2)2-(D21+E21-4F1)(D22+E22-4F2)\]<0,

∴T=f(λ)>0恒成立,

又圆心坐标为(-D1+λD22(1+λ),

-E1+λE22(1+λ)),即

(-D12+λ(-D22)1+λ,

-E12+λ(-E22)1+λ)。

故方程x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0表示圆心在直线C1C2上的圆。

3。探究二:“非相交圆系”方程可能表示圆吗?

3。1直线和圆不相交

定理3若直线l:Ax+By+C=0与⊙M:x2+y2+Dx+Ey+F=0相离,则方程

x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0可能表示圆,点,或不表示任何图形。

证明:∵x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0,∴x2+y2+(D+λA)x+(E+λB)y+F+λC=0,∵直线l和⊙M相离,∴-AD2-BE2+CA2+B2>D2+E2-4F2,

平方得(A2+B2)(D2+E2-4F)<(AD+BE-2C)2,

∵T=(D+λA)2+(E+λB)2-4(F+λC)

=(A2+B2)λ2+2λ(DA+BE-2C)+D2+E2-4F。

∵A,B,C,D,E,F均为常数,

∴T=0可视为关于λ的二次方程。

Δ=4\[(DA+BE-2C)2-(A2+B2)(D2+E2-4F)\]>0∴λ1,2=-2(DA+BE-2C)±Δ2(A2+B2)。

当λ=-2(DA+BE-2C)±Δ2(A2+B2)时,T=0,方程表示过M且与l垂直的直线上的点;

当λ>-2(DA+BE-2C)+Δ2(A2+B2)或

λ<-2(DA+BE-2C)-Δ2(A2+B2)时,T>0,方程表示圆心在过M且与l垂直的直线上的圆;

当-2(DA+BE-2C)-Δ2(A2+B2)<λ

<-2(DA+BE-2C)+Δ2(A2+B2)时,T<0,方程不表示任何图形。

定理4若直线l:Ax+By+C=0与⊙M:x2+y2

+Dx+Ey+F=0相切,则方程

x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ≠-1)可能表示圆或点。

证明:∵x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0,

∴x2+y2+(D+λA)x+(E+λB)y+F+λC=0,

∵直线l和⊙M相切,

∴-AD2-BE2+CA2+B2=D2+E2-4F2,

平方得(A2+B2)(D2+E2-4F)=(AD+BE-2C)2,

∵T=(D+λA)2+(E+λB)2-4(F+λC)

=(A2+B2)λ2+2λ(DA+BE-2C)+D2+E2-4F。

∵A,B,C,D,E,F均为常数,

∴T=0可视为关于λ的二次方程。

Δ=4\[(DA+BE-2C)2-(A2+B2)(D2+E2-4F)\]=0∴λ1=λ2=-DA+BE-2CA2+B2,

当λ=

-DA+BE-2CA2+B2时,T=0,方程表示直线l与

⊙M的切点;

当λ≠-DA+BE-2CA2+B2时,T>0,方程表示圆心在过M且与l垂直的直线上的圆。

3.2两个圆不相交

定理5若⊙C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和

⊙C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0相离,则方程

x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y

+F2)=0(λ≠-1)可能表示圆、点或不表示任何图形。

证明:∵⊙C1和⊙C2相离,∴|C1C2|>r1+r2,

∴D21+E21-4F12+D22+E22-4F22

<

(D12-D22)2+(E12-E22)2,

平方得

D21+E21-4F1·D22+E22-4F2

<2F1+2F2-D1D2-E1E2。∵x2+y2+D1x+E1y+F1

+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0,

∴(1+λ)x2+(1+λ)y2+(D1+λD2)x+(E1+λE2)y+F1+λF2=0,

∵T=(D1+λD2)2+(E1+λE2)2-4(1+λ)(F1+λF2)

=(D21+E21-4F1)+λ2(D22+E22-4F2)

+2λ(D1D2+E1E2-2F1-2F2),

∴T=0可视为关于λ的二次方程。

∵Δ=4\[(D1D2+E1E2-2F1-2F2)2-(D21+E21-4F1)(D22+E22-4F2)\]>0,

∴λ1,2=-2(D1D2+E1E2-2F1-2F2)±Δ2(D22+E22-4F2)。

当λ=-2(D1D2+E1E2-2F1-2F2)±Δ2(D22+E22-4F2)时,

T=0,方程表示直线C1C2上的点;

当λ>-2(D1D2+E1E2-2F1-2F2)+Δ2(D22+E22-4F2)或

λ<-2(D1D2+E1E2-2F1-2F2)-Δ2(D22+E22-4F2)时,

T>0,方程表示圆心在直线C1C2上的圆;

当-2(D1D2+E1E2-2F1-2F2)-Δ2(D22+E22-4F2)<λ

<-2(D1D2+E1E2-2F1-2F2)+Δ2(D22+E22-4F2)时,

T<0,方程不表示任何图形。

定理6若⊙C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和⊙C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0外切,则方程

x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)可能表示圆或点。

证明:∵⊙C1和⊙C2外切,∴|C1C2|=r1+r2,

∴D21+E21-4F12+D22+E22-4F22

=

(D12-D22)2+(E12-E22)2

,平方得

D21+E21-4F1·D22+E22-4F2

=2F1+2F2-D1D2-E1E2。

∵T=(D1+λD2)2+(E1+λE2)2-4(1+λ)(F1+λF2)

=(D21+E21-4F1)+λ2(D22+E22-4F2)

+2λ(D1D2+E1E2-2F1-2F2),∴T=0可视为关于λ的二次方程。

∵Δ=4\[(D1D2+E1E2-2F1-2F2)2-(D21+E21-4F1)(D22+E22-4F2)\]=0,

∴λ1=λ2=-2(D1D2+E1E2-2F1-2F2)2(D22+E22-4F2)

=

D21+E21-4F1D22+E22-4F2。

当λ=D21+E21-4F1D22+E22-4F2时,T=0,方程表示两圆的切点;

当λ≠D21+E21-4F1D22+E22-4F2时,T>0,方程表示圆心在直线C1C2上且过两圆切点的圆。

定理7若⊙C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和⊙C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0内切,则方程:

x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y

+F2)=0(λ≠-1)可能表示圆或点。

证明:∵⊙C1和⊙C2内切,∴|C1C2|=|r1-r2|,

∴D21+E21-4F12-D22+E22-4F22

=(D12-D22)2+(E12-E22)2

,平方得

-D21+E21-4F1·D22+E22-4F2

=2F1+2F2-D1D2-E1E2。

∵T=(D1+λD2)2+(E1+λE2)2-4(1+λ)(F1+λF2)

=(D21+E21-4F1)+λ2(D22+E22-4F2)

+2λ(D1D2+E1E2-2F1-2F2)。

∴T=0可视为关于λ的二次方程。

∵Δ=4\[(D1D2+E1E2-2F1-2F2)2-(D21+E21-4F1)(D22+E22-4F2)\]=0,

∴λ1=λ2=-2(D1D2+E1E2-2F1-2F2)2(D22+E22-4F2)

=-D21+E21-4F1D22+E22-4F2。

当λ=-D21+E21-4F1D22+E22-4F2时,T=0,方程表示两圆的切点;

当λ≠-D21+E21-4F1D22+E22-4F2时,T>0,方程表示圆心在直线C1C2上且过两圆切点的圆。

定理8若⊙C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和⊙C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0内含,则方程

x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)可能表示圆,点,或不表示任何图形。

证明:∵⊙C1和⊙C2内切,∴|C1C2|<|r1-r2|,

∴D21+E21-4F12-D22+E22-4F22

>(D12-D22)2+(E12-E22)2,

平方得

D21+E21-4F1·D22+E22-4F2

<D1D2+E1E2-2F1-2F2。

∵T=(D1+λD2)2+(E1+λE2)2-4(1+λ)(F1+λF2)

=(D21+E21-4F1)+λ2(D22+E22-4F2)

+2λ(D1D2+E1E2-2F1-2F2),

∴T=0可视为关于λ的二次方程。

∵Δ=4\[(D1D2+E1E2-2F1-2F2)2-(D21+E21-4F1)(D22+E22-4F2)\]>0,

∴λ1,2=-2(D1D2+E1E2-2F1-2F2)±Δ2(D22+E22-4F2)。

当λ=-2(D1D2+E1E2-2F1-2F2)±Δ2(D22+E22-4F2)时,

T=0,方程表示直线C1C2上的点;

当λ>-2(D1D2+E1E2-2F1-2F2)+Δ2(D22+E22-4F2)或

λ<-2(D1D2+E1E2-2F1-2F2)-Δ2(D22+E22-4F2)时,

T>0,方程表示圆心在直线C1C2上的圆;

当-2(D1D2+E1E2-2F1-2F2)-Δ2(D22+E22-4F2)<λ

<-2(D1D2+E1E2-2F1-2F2)+Δ2(D22+E22-4F2)时,

T<0,方程不表示任何图形。

4.探究三:圆系方程中的圆有何共同特点?

定理9已知直线l:Ax+By+C=0与⊙M:x2+y2

+Dx+Ey+F=0,若方程:x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0表示圆(记作⊙N),则⊙N与⊙M:x2+y2+Dx+Ey+F=0有共同的根轴

Ax+By+C=0。

证明:∵x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0,

∴x2+y2+(D+λA)x+(E+λB)y+F+λC=0。

∵A,B不同时为0,故⊙N与⊙M为非同心圆,

∴⊙N与⊙M的根轴方程为:

\[x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)\]-\[x2+y2+Dx+Ey+F\]=0,即Ax+By+C=0。

定理10已知⊙C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和

⊙C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0,若方程

x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y

+F2)=0(λ≠-1)表示圆(记作⊙N),则⊙N与

⊙C1,⊙C2均有共同的根轴

(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0。

证明:∵x2+y2+D1x+E1y+F1

+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0,

∴(1+λ)x2+(1+λ)y2+(D1+λD2)x

+(E1+λE2)y+F1+λF2=0,

∴x2+y2+D1+λD21+λx+E1+λE21+λy+F1+λF21+λ=0。

与⊙C1的根轴方程为(D1+λD21+λ-D1)x

+(E1+λE21+λ-E1)y+F1+λF21+λ-F1=0,

化简即得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0。

同理可证与⊙C2有共同的根轴。

参考文献

\[1\]刘薇,陆丽滨。两圆无交点,圆系为何意。中学教研\[J\]。2010,1。

\[2\]姚华鹏。解析交点圆系方程的几何意义。中学教研\[J\]。2011,4。