高观点下再看问题本质——圆锥曲线极点与极线的一个性质应用

  • 投稿小耳
  • 更新时间2015-08-30
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华南师范大学数学科学学院(510631)黄嘉欣

近年来,关于圆锥曲线的切线及其相关问题的研究受到了教师们的青睐,请看2008年江西高考理科数学试题:

设点P(x0,y0)在直线x=m(y0≠±m,0<m<1)上,过点P作双曲线x2-y2=1的两条切线PA,PB,切点为A,B。已知定点M(1m,0),求证:A,M,B三点共线。

在此给出一种证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),则切线PA的方程为xx1-yy1=1,切线PB的方程为xx2-yy2=1。因点P在切线PA和PB上,故有x0x1-y0y1=1,

x0x2-y0y2=1,由此可知点A,B在直线xx0-yy0=1上。由于点P在直线x=m(y0≠±m,0<m<1)上,故x0=m。将定点M(1m,0)代入xx0-yy0=1,易得点M也在该直线上,故得证A,M,B三点共线。

我们还可以将问题做一般化探究:

过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)左(右)准线上的任意一点P引双曲线的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB必过左(右)焦点。反之,AB为过左(右)焦点的一条弦,过A,B分别引双曲线的切线交于点P,则点P在该双曲线的左(右)准线上。

其实我们还可以得到更一般的结论。为了叙述方便,本文先介绍圆锥曲线极线和极点的定义。

定义如果圆锥曲线的两条切线相交于点P,切点分别为A,B两点,那么点P称为直线AB关于该曲线的极点,直线AB称为点P关于该曲线的极线。

(注:此定义只考虑极点在曲线外的情况。)

定理1直线AB是点P关于双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的极线,那么,直线AB过点Q(a2n,0)的充要条件是点P在直线x=n上。

为了方便对定理1的理解与证明,这里再介绍一个引理。

引理1双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)在点K(x0,y0)处的切线方程为xx0a2-yy0b2=1;对双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),点P(x0,y0)的极线方程为xx0a2-yy0b2=1。

引理1中双曲线在点K处的切线方程不难得到,相信很多读者都不陌生。以下探讨点P对于该双曲线的极线方程。

证明:设切点A(x1,y1),B(x2,y2),切线PA的方程为xx1a2-yy1b2=1,切线PB的方程为xx2a2-yy2b2=1。因点P(x0,y0)在切线PA和PB上,故有x0x1a2-y0y1b2=1,x0x2a2-y0y2b2=1,由此可知点A,B在直线xx0a2-yy0b2=1上,即点P(x0,y0)的极线方程为xx0a2-yy0b2=1。

利用引理1,证明定理1就会简单不少了。

充分性:设P(n,t),由引理1知,点P关于双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的极线方程为nxa2-tyb2=1,显然,点Q(a2n,0)满足该方程,即该极线过点Q(a2n,0)。

必要性:设P(x0,y0),则点P关于双曲线的极线方程为xx0a2-yy0b2=1,由于极线AB过点Q(a2n,0),所以a2x0na2=1,即x0=n,即点P在直线x=n上。

特别地,当点P(±a2c,t)在双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的准线x=±a2c上,它关于该双曲线的极线AB:±a2xa2c-tyb2=1,即±xc-tyb2=1,易见,该极线过焦点F(±c,0)。

这样,我们就可以看到本文开头提到的2008年江西高考理科数学试题的本质了。

圆锥曲线大花园里面还不止双曲线一种,还有与之具有相似性质的圆、椭圆与抛物线。因此,类比双曲线中上述性质的推导过程和结果,可以尝试在圆、椭圆和抛物线中找寻类似的性质。(证明略)

引理1*圆锥曲线x2A+y2B=1在点K(x0,y0)处的切线方程为xx0A+yy0B=1;对圆锥曲线x2A+y2B=1,点P(x0,y0)的极线方程为xx0A+yy0B=1。

定理1*直线AB是点P关于圆锥曲线x2A+y2B=1的极线,那么,直线AB过点Q(An,0)的充要条件是点P在直线x=n上。

特别地,当点P(±a2c,t)在椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的准线x=±a2c上,它关于该椭圆的极线AB:±a2xa2c+tyb2=1,即±xc+tyb2=1,易见,该极线过焦点F(±c,0)。

引理1**抛物线y2=2px(p>0)在点K(x0,y0)处的切线方程为yy0=p(x+x0);对抛物线y2=2px(p>0),点P(x0,y0)的极线方程为yy0=p(x+x0)。

定理1**直线AB是点P关于抛物线y2=2px(p>0)的极线,那么,直线AB过点Q(n,0)的充要条件是点P在直线x=-n(n>0)上。

特别地,当点P(-p2,t)在抛物线y2=2px(p>0)的准线x=-p2上,它关于该抛物线的极线AB:ty=p(x-p2),易见,该极线过焦点F(p2,0)。

下面,我们将上述结论进一步推广,得到更一般的结论。

定理2直线AB是点P关于圆锥曲线x2A+y2B=1的极线,那么,直线AB过点Q(-mAn,Bn)的充要条件是点P在直线y=mx+n上。

定理2*直线AB是点P关于抛物线y2=2px(p>0)的极线,那么,直线AB过点Q(nm,pn)的充要条件是点P在直线y=mx+n上。

以下给出定理2的证明,定理2*的证明留给有兴趣的读者。

充分性:设点P(x0,mx0+n),则它关于圆锥曲线x2A+y2B=1的极线AB方程为xx0A+y(mx0+n)B=1,化简可得(xA+myB)x0+nyB-1=0,令xA+myB=0,nyB-1=0,得x=-mAn,y=Bn,即直线AB恒过定点Q(-mAn,Bn)。

必要性:设点P(x0,y0),则它关于圆锥曲线x2A+y2B=1的极线AB方程为xx0A+yy0B=1,由于直线AB过点Q(-mAn,Bn),则有-mAx0nA+By0nB=1,即-mx0n+y0n=1,即y0=mx0+n,故点P恒在定直线y=mx+n上。

下面我们考察2012年安徽高考理科数学试题:

点F1(-c,0),F2(c,0)分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点,过点F1作x轴的垂线交椭圆C的上半部分于点P,过点F2作直线PF2的垂线交直线x=a2c于点Q。

(1)如果点Q的坐标是(4,4),求此时椭圆C的方程;

(2)证明:直线PQ与椭圆只有一个交点。

分析:利用准线方程与垂直条件可以求得椭圆方程为x24+y23=1。

对于第(2)问,我们可以求出直线PQ的方程,并将其与椭圆方程联立,通过判别式可得交点只有一个。在本题中,点Q是在椭圆右准线上的点,若延长PF2交椭圆于点M,则PM为点Q关于椭圆的极线,点Q为弦PM关于椭圆的极点,其中PM经过右焦点F2,与定理1*的特别情况相一致。可见,一道高考题的命题背景可能就只是一个定理的特殊情况,若掌握了定理原理,也就把握了题目的本质。

在解析几何中,圆锥曲线的相关性质是最为丰富的,而关于极线极点的学习考查看似并不多见,其实不然,只要细心寻找,就可以发现诸如切点弦等极点极线特殊情形的运用。面对浩如烟海的数学题,懂得解题显得尤为重要,而懂得解题往往不仅仅指单一的求解答案,而是能够看清题目背后的知识背景,能够思考问题核心本质,这样才能真正找到解决问题的方法。学会用更高的观点去看待数学问题,挖掘问题本质,是我们锲而不舍追求的最高境界。