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一道高三质检题的求解及反思

  • 投稿Ener
  • 更新时间2015-08-30
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福建省福州市长乐第七中学(350206)章国平

一次课堂教学中,笔者讲解了济南市2015届高三质检的一道考题:

已知函数f(x)=13x3+12ax2+bx+c在x1处取得极大值,在x2处取得极小值,且满足x1∈(-1,0),x2∈(0,1),则a+2b+4a+2的取值范围是()。

A。(0,2)B。(1,3)C。\[0,3\]D。\[1,3\]

此题貌似函数求导,真正深入下去,内容挺丰富,考查的知识面很宽。本文就其求解步骤与同仁分享,并作一点教学反思。

一、解题步骤

第1步:已知函数有极值,求参数的范围。

由f ′(x)=x2+ax+b,令f ′(x)=0,即x2+ax+b=0,则这个以x为未知数的方程有两个实数根x1,x2且x1∈(-1,0),x2∈(0,1)。

第2步:已知一个一元二次方程的根为x1,x2且图1x1∈(-1,0),x2∈(0,1),求参数的范围。

令g(x)=x2+ax+b,其图像是一开口向上的抛物线,如图1,由零点分布情况可得

g(-1)>0,

g(0)<0,

g(1)>0,解得

1-a+b>0,

b<0,

1+a+b>0。(这里再加对称轴在-1~1之间的条件也可以)图2

第3步:二元一次不等式的求解,转化为平面区域的求解。

这里以a作横坐标,b作纵坐标,且平面区域不含边界,则(a,b)适合平面区域如图2的三角形区域。

第4步:已知(a,b)适合平面区域所在的范围,

求a+2b+4a+2的取值范围。

由于a+2b+4a+2可分离为a+2+2(b+1)a+2=1+2(b+1)a+2,

而式子b+1a+2在图形上的几何意义是动图3点(a,b)与定点Q(-2,-1)连线的斜率,如图3,当直线在QB时斜率为0,当直线在QA时斜率最大,所以-1+10+2<b+1a+2<0+1-1+2,即0<b+1a+2<1,所以1<1+2(b+1)a+2<3,a+2b+4a+2∈(1,3)。

故本题答案应选B。

二、一点反思

对于本题,题干部分很不起眼,就是一道普通的函数导数问题,关键是有两个字母的参数出现使得问题复杂化,求解的又是一个含两个参数的分式的取值范围。从考试时间来看,要在很短的时间里完成这道题,需要考生有全面的知识,解题能力要达到相当的熟练程度。而且其中体现有函数与方程、数形结合、分类与整合及化归与转化等多种思想方法。要求解题者具有一定的数学视野,良好的思维习惯及锲而不舍的探索精神。启示我们教师的教,应注重思想方法的渗透,数形结合的思想运用,有意识地在讲解与渗透重要的基本数学思想时,帮助学生掌握科学的方法,从而达到传授知识,培养能力的目的。只有这样,学生才能灵活运用和综合运用所学的知识;

学生的解题不应仅仅满足于会做,而要对题目由表及里、由此及彼、由浅入深地去分析,做到举一反三,融会贯通,多认真思考,发现题目包含更多的内在知识及联系。