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一个含参代数式的双边估计探究

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  • 更新时间2015-09-24
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季晓蕾1,王 阳1,李 明2

(1.沈阳化工大学 数学教研室,辽宁 沈阳 110142;2.中国医科大学 数学教研室,辽宁 沈阳 110001)

摘 要:Schur凸函数在数学各个领域中均有广泛的作用,所以Schur凸性的研究具有重要理论意义和应用前景.目前,Schur凸性的研究非常活跃,众多文献中讨论了对称函数的Schur凸性,并且取得了众多结果.本文利用控制不等式的理论和方法证明了几个有趣不等式,整个讨论过程中,Schur凸函数起了重要作用.针对n元含参数p的代数式f(p),对于参数p的不同特殊值范围,得到了代数式f(p)上下界,探究了一个n元含参代数式f(p)的最佳上下界.大部分结果是已有结论的推广.

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关键词 :代数式;最佳上下界;Schur凸函数

中图分类号:O13文献标识码:A文章编号:1673-260X(2015)07-0001-02

针对此n元含参数p的代数式f(p),文[1]对一些特殊的p值得到了如下两条结论:

文献[4]进一步提出如下问题:对于一般的p,f(p)是否有最佳上下界.本文将针对实数f(p)的不同取值范围探究f(p)的最佳上下界,从而推进文[1]-[3]的研究结果,一定程度上解答文献[4]提出的上述问题.

1 定义及引理

2 探究f(p)的最佳上界

对于实数p的其余取值范围,我们来分情况求出f(p)的最佳上界:

(1)当p<0时,注意到(a1,a2,…,an)→(1,0,…,0)可推出f(p)→+∞,故p<0时,f(p)无最佳上界.

(2)当p=0时,f(p)=n2,故p=0时,f(p)的最佳上界为n2.

=S(a1,a2,…,an)≤S(1,0,…,0)=n-1+2-p.(7)

又注意到(a1,a2,…,an)→(1,0,…,0)可推出f(p)→n-1+2-p,故p≥1时,f(p)的最佳上界为n-1+2-p.当3/5<p<1时,笔者没能求出f(p)的最佳上界.

3 探究f(p)的最佳下界

于是n=l+1时命题也成立,于是引理得证.

下面来求f(p)的最佳下界.

4 结论

综合上述分析论证,对于f(p)的最佳上下界,笔者用不等式或等式简记如下(其中“*”表示该最佳上界或下界尚未求出):

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参考文献

(1)舒金根.一个无理不等式的推广及其他[J].中学教研(数学),2004,10(3):30-31.

(2)于先金.一个不等式的下界估计及其推广[J].福建中学数学,2005,5(1):22-23.

(3)江永明.一个代数不等式的拓展及证明[J].不等式研究通讯,2005,1(2):29-31.

(4)匡继昌.常用不等式(第四版)[M].济南:山东科学技术出版社,2010.232.

(5)王伯英.控制不等式基础[M].北京:北京师范大学出版社,1990:.6-37.

(6)Marshall A W, and Olkin I. Inequalities: Theory of Majorization and Its Applications[M]., AcademicPress, New York, 1979:23-25.

(7)冯烨.一类对称函数的Schur凸性[J].内蒙古民族大学学报(自然科学版),2011,26(2):150-153.