内涵探究,外延拓展——与椭圆切线相关的定量问题赏析

  • 投稿wine
  • 更新时间2015-08-30
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江苏省江浦高级中学 (211800) 徐爱勇

解析几何作为高考的一个必备考点,颇受命题者的青睐.然而对于广大考生来说却倍感头痛,常常对其望而生畏.特别是有些解几试题,条件看起来简捷明了,所要研究的对象也很常规,可真正动起笔来就会左右为难,不知所措.究其原因,笔者认为这与我们在组织教学时,受“应试”的影响而产生的浮躁作风一“急功近利”有很大的关联.在例题的讲解中,为了赶进度,只注重讲思路、讲答案+缺乏及时的变式训练,没有从题目中提炼出最具本质的东西出来,不求知识的迁移同化,不求思想方法的融会贯通.因此,当学生拿到一个问题(有时就是原题)后还是不会思考,就不足为奇了。

鉴于此,本文试通过三个案例,以“椭圆的切线”为背景,来赏析模考题以及高考题中与椭圆切线相关的定点、定线、定值问题,并进行内涵探究和外延拓展,以期达到举一反三,以点促面的教学功效。

赏析“定点”问题

案例1(2014届苏州大学附属中学5月份模

赏析:(角度1-内涵探究)显然,在推理和演算的过程中,有些环节可以进行适当地优化。不过每一种解法的优劣也因人而异,解题应遵循自然原则。现罗列如下:

环节1:如何求出切线方程?

我们最易想到联立消元解方程组,若我们平时注意积累,不难想到结论“椭圆上任意一点的切线

数求导或隐函数求导,这些都是解决问题的可行性方案。

环节2:如何求出圆的方程?

我们利用圆的方程的不同形式都可以解出,就是这样一个非常朴素的运算环节,我们也可以利用结论“以线段两端点为直径的圆方程的形式”来提高运算的流畅性。

环节3:如何选择参变量来表示几何量?

纵观解几运算的变量选择,笔者认为大概有如下类型——以点的坐标为参量、以直线的斜率为参量、以几何角度为参量或以几何线段长度为参量等.其实,无论选择何种变量,在本质上无优劣之分,主要还是取决于解题者对题目的理解力。

(角度2一外延拓展)我们对其进行解后反思,不难发现,所求定点即为椭圆的焦点、是偶然、还是必然?经查阅,可以发现本题和2012年福建省高考珲科第19题较相似.题目如下:

(2)设动直线l:y= kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P,且与直线x =4相交于点Q。试探究:在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由。(存在,点M(1,0)

若我们对本题的条件和结论进行变更,很快就可以得到2013年湖北省数学竞赛初赛第6题,设F

为我们对解析几何的复习备考指明了一条明确的方向——“组题教学法”。组题,是一个艰辛的过程,也是一个长期积累的过程,需要教师的精心收集整理,若我们一线教师能够持之以恒地坚持,高三数学备考复习可事半功倍。

2、赏析“定线”问题

案例2(2009年辽宁卷理科第20题)已知椭

赏析:(角度1-内涵探究)细细评来,本题串联几何关系到代数运算的重要桥梁就是构建相似几何量“直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数”:而我们把这样的相似几何量改为“相互垂直的两条直线”,即得到了2013年湖北省竞赛初赛第6题的

(角度2-外延拓展)我们不妨从极限的角度来研究,将点E和F视为同一点,那么直线EF的斜率就转变为椭圆上一点的切线的斜率.由此我们可以推测出一般性结论:经过圆锥曲线(椭圆、双曲线和抛物线)通径PQ的一个端点P,作关于直线PQ对称的两条直线交圆锥曲线于另外两点M,N,则直线MN平行于通径另一端点处的切线,(证明从略)

在角度1的背景下,我们再对题目的条件和结论进行变更,不难得出2012年安徽卷理科第20题:如图3,F1(c,o),F2(c,o)分别是椭圆c:

(1)若点Q的坐标为(4,4),求椭圆C的方程;

(2)证明:直线PQ与椭圆G只有一个交点。

我们的老师常会有这样的困惑:类似的问题讲过多遍,学生在复习的过程中也做了相当多的习题,为什么在考试时还是经常举步维艰或一做就错呢?笔者认为,这和我们老师在习题讲评中的立意不到位密切相关,在学生的脑海里甚至在一些教师的脑海里,这些本应相关的问题,全都处于“孤立无援”的状态,从而导致对这些问题缺乏系统思考.学生能否解出题目,有点开“碰碰车”的感觉。

(1)求椭圆C的方程;

(2)若动直线f与椭圆C有且只有一个公共点,试问:在x轴上是否存在两定点,使其到直线l的距离之积为1?若存在,请求出两定点坐标;若不存在,请说明理由。

b>O)始终保持相切,而点P就是其切点倘若我们再结合于圆锥曲线的相似性,势必会得到一系列相关的结论.有兴趣的读者不妨可以展开研究。

在复习教学中,习题的讲解不能是就题论题,要增加解后反思环节,引导学生发现问题的本质。使其既知其然又知其所以然,从根本上解决学习中的困惑,学会触类旁通、举一反三.要注意从问题的条件、结论、设问方式等角度入手进行适当地变式,让学生独立解决,帮助学生内化其解题思想方法,在变式训练中培养学生提高解决问题的能力和应变能力,提升学生的数学素养,从而实现有效复习和高效复习。