王一为
摘要：数学教学，在抓好基础知识的同时，要逐步培养学生的应用意识，注意培养学生利用数学知识解决问题的能力，这种能力对于学生升学或者参加工作都是十分重要的。
教育期刊网 http://www.jyqkw.com
关键词 ：数学模型；数学应用；数学兴趣；数学问题
重视数学知识的应用是当前国际数学教育改革的一大特点，近年来国内许多有识之士早已认识到数学应用的重要性和中国学生与欧美学生在数学应用能力上的差异，大声疾呼要加强应用数学的教学。特别是近年来，高考、中考试卷中出现不少有关经济数学等方面的应用题，这对于改变数学的陈旧观念，培养中学生的数学应用意识，提高学生的数学兴趣，无疑有很好的导向作用。目前正在全国范围内推行的新课程标准实验教材特别重视这个问题。
数学是研究现实中数量关系和空间形式的科学，应用的广泛性是它的特点之一。数学从实践中来又到实践中去是中国数学的一个优秀传统，著名的《九章算术》就是由246个题目所组成，应用的方向十分明确。
如今，在我们的生活中，数学无处不在。利率的计算、投保的决策、股市图表的识别、地震年代的估计、药液的配置、迷信的破除、电线铺设的最佳方案的选择……数学和现实如此之近。当你走进银行存钱、打开报纸读金融消息、听他人谈论销售问题……数学知识已渗透到社会各个领域，他们不同程度的影响着每个人。
一般的，我们把运用数学知识和数学方法来解决的问题，称为应用题。它是中学数学的一种基本题型。解应用题的关键是建立数学模型，也就是把实际问题抽象成数学问题。
一、数学应用题的特点
纵观近年初中数学中考应用题，具有以下显著特点：取材贴近生活，往往涉及到社会问题，如打折销售问题、储蓄问题、按揭购房问题、最优化问题等，通过这些问题引起学生关心社会发展，培养学生的主体意识，体现数学的社会化功能。
转化过程的模型化。数学应用问题的解决一般可分为两个步骤：
①建立数学模型。②求解数学模型。前者是关键，后者往往只是一个纯数学问题。
其中通过分析、联想、转化、抽象是建立数学模型的关键，大致过程如下：①分析研究实际问题的对象和特点，确定数学模型的类型；②选择具有关键作用的基本数量关系并确定互相关系；③对实际问题进行抽象，用数学概念、符号表达事物的对象及其互相关系。
⑴突出考查应用数学语言表达实际问题的能力。解决应用问题的关键是把实际问题数学化，即要求学生不仅提出问题、分析问题，而是能把文字语言转化为数学符号语言，用数学式子表达数量关系，这对学生数学语言、表达能力和阅读理解能力的培养提出了较高的要求。
⑵重视对基础知识、基本方法的综合应用能力及运用能力的考查。初中数学所涉及的数学模型包括方程、不等式、函数、解直角三角形等，它们既是中考的重要知识，又是解数学应用题的有利工具。如增长率问题可转化为方程。最值问题转化为函数等。在转化为纯数学问题后对运算能力也提出了较高的要求。所以数学应用题取材于现实，又联系着课本，既考察了学生解决社会实际问题的能力，又考察了学生综合运用数学知识、数学方法的能力和运算能力。
二、题型及其解题思路
抽象出实际问题的纯数学形式，即建立模型是运用数学知识解决实际问题的关键。在应用数学的教学中，必须加强实际问题的抽象训练和建模训练，要使学生明确一个具体问题中要求什么，应建立何种模型，逐步形成对实际问题的抽象技能，掌握解决问题的方法,培养学生理论联系实际的能力。下面分别举例说明。1.方程（组）、不定方程（组）、不等式（组）的应用
初中数学的应用最先主要是寻找相等关系，运用方程知识解决行程、工效、利率和增长率等市场经济问题。
例1 红星中学某班前年暑假将勤工俭学挣得的班费2000元按一年定期存入银行，去年暑假到期后取出1000元寄往灾区，将剩下的1000元和利息继续按一年定期存入银行，待今年毕业后全部捐给母校。若今年到期后取得人民币（本和息）1155元，问银行一年定期存款的年利率（假定年利率不变）是多少？
分析：设一年定期存款的年利率为x％，那么一年到期后本息和为2000×（1+x%），余下的1000元和利息按一年定期存入银行，其本息和为[2000×（1+x%）-1000]×（1+x%）。
解：设一年定期存款的年利率为x％，依题意得：
[2000×（1+x%）-1000]×（1+x%）=1155解这个方程得x1=5，x2=-155（不合题意舍去）
答：（略）
这是一道比较简单的应用题，他联系到社会主义市场经济中的一些基本常识，通过这道题，考察了学生数学应用的能力，也考查了学生的列方程解方程、根的检验等基础知识，考察了本金、利息、利率的概念及其之间的关系。
2.直角三角形的应用
这是中考命题热点，解直角三角形部分的实际应用问题主要是测量问题（如测高、燕尾槽、堤坝、捕捞、航海等），要求学生运用转化思维将实际问题转化为直角三角形有关的数学问题，把实际问题中的数学关系归结为直角三角形中元素之间的关系，从而使问题迎刃而解。同时这类问题还考到仰角、俯角、坡度、方向角等概念以及近似计算的有关方法（如精确度问题等）。
例2如图，某船向正东航行，在A处望见某岛C 在北偏东60°，前进6 海里到B点，测得该海岛在北偏东30°，已知该周围6海里内有暗礁，问若船继续向东航行，有无触礁危险？说明理由。
分析：若船继续向东航行，那么船离小岛的最近距离为CD，若CD≤6海里，则船有触礁的危险，若CD＞6海里，则船没有触礁的危险。
解：过C做CD⊥AB延长线于D，根据题意：
∠CAD=30°，∠CBD=60°，AB=6
∴∠CAB=30°
∴BC=BA=6
∵在Rt△CBD中，直角边小于斜边∴CD＜BC
∵CD＜6
∴若船继续航行，会有触礁危险。
3.看图识数问题
这类问题的特点是：已知条件或所求结论蕴含在提供的图形里面，要求学生在较短的时间内，把图形和数据归纳、抽象或计算，从而解决问题。这类问题有得与提高学生的观察能力、探索能力及对图表的识别能力。
例3 某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李费用y（元）是行李重量x（公斤）的一次函数，其图像如图所示。
求（1）y与x之间的函数关系式；
（2）旅客最多可免费携带行李的公斤数。
解：（1）设一次函数解析式为y=kx+b，由图像可得
由y 与x 的函数关系式即知，旅客最多可免费携带30公斤行李。
4.函数知识的应用
像最大值、最小值、最优化方法等科学运筹问题要转化为函数，利用函数知识来解决。
例4某旅社有客房120间，每间房的日租金为50元时，每天都客满；旅社装修后提高租金，经市场调查，如果一间客房的日租金每增加5元，则客房每天出租数会减少6间。不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？比装修前的日租金总收入增加多少元？
分析：题中，日租金每增加5元，则客房每天出租数会减少。故设每间客房的日租金每提高x 个5元，于是每天客房出租数会减少6x 间，日租金总收入：
y =（50+5x） ×（120-6x）
=30×（x -5）2 +6750
由此不难知道，日租金提至75 元时总收入最高，比装修前每天增加750元。
解：（略）
由实际问题中确定函数解析式，将实际问题抽象成数学问题，既考察了学生学数学的能力，又强化了学生应用创新意识。同时让学生体会一下数学在日常生活中的作用，感受到学习数学的乐趣。
5.统计知识的应用
像成绩评估、人口估计、鱼塘养鱼数量和重量等，主要适用统计知识来解决。
例5一次科技知识竞赛，两组学生成绩统计如（图一）：
已经算得两个组的平均分都是80分，请根据你所学过的统计知识，进一步判断两个组这次竞赛中成绩谁优谁次，并说明理由。
分析：可利用统计知识中的众数、方差、中位数、高分段分别对甲、乙进行评估。
解：（1）由图表可知，甲组众数为90分，乙组的众数为70分，所以从成绩的众数比较看甲组成绩好。
（2）通过计算可得s2 甲=172，=256，s2甲＜ s2 乙，∴从成绩的方差比较看甲组的成绩波动小。
（3）甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分，甲组成绩80分以上有33人，乙组成绩在80分以上有26人，从这一角度看，甲组成绩总体较好。
（4）从成绩统计表看，甲组高于80分的人数为20人，乙组中高于80分的人数为24人，所以乙组成绩集中在高分段的人数多，同时乙组得满分的人数比甲组多六人，从这一角度看，乙组的成绩较好。
总之，数学教学，在抓好基础知识的同时，要逐步培养学生的应用意识，注意培养学生利用数学知识解决问题的能力，这种能力对于学生升学或者参加工作都是十分重要的。
教育期刊网 http://www.jyqkw.com
参考文献
[1]广义函数及其运算.
[2]概率与统计.
[3]现代数学与应用.
[4]初中数学课本.