李 涛
（连云港开放大学，江苏 连云港 222006）
摘 要：本文中研究一般的双交叉积及其模范畴， 先介绍匹配的双代数（或Hopf代数）对（X，A）及相应的双交叉积X∞A，对于一对匹配的双代数（X，A），定义了（X，A）-交叉模范畴（X，A）M，证明了双交叉积X∞A上的模范畴X∞AM恰好同构于（X，A）-交叉模范畴（X，A）M。最后，对于任一个具有双射antipode的Hopf代数H，我们给出了从Yetter-Drinfeld H-模范畴HYDH到广义Drinfeld double D（H）上的模范畴D（H）M的一个monoidal函子。
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关键词 ：双代数；双交叉积；模范畴
中图分类号：O15文献标识码：A文章编号：1673-260X（2015）03-0001-02
设（X，A）是一对匹配的双代数（或Hopf代数），X∞A为相应的双交叉积。用X∞AM，XM和AM分别表示左X∞A-模范畴、左X-模范畴和左A-模范畴。显然X→X？茚A，xa x∞1和A→X∞A，a a→1∞a是两个双代数（或Hopf代数）单同态。将上述两个映射视为嵌入映射，则X和A自然地成为X∞A的子双代数（或子Hopf代数）。
引理1.1 设M是一个左X∞A-模，令
x·m=（x∞1）·m，a·m=（1∞？琢）·m，x∈X，a∈A，m∈M。
则M既是左X-模，又是左A-模，且这两个模作用满足
a·（x·m）=∑（a1→x1）·（（a2←x2）·m），x∈X，a∈A，m∈M。
证明 由前面的说明知X→X∞A，xa x∞1和A→X∞A，aa 1∞a是两个代数同态。因此引理中的定义确实使得M成为一个左X-模和左A-模。
对任意的a∈A，x∈X，m∈M有
a·（x·m）=（1∞a）·（（x∞1）·m）
=（（1∞a）（x∞1））·m
=（∑（a1→x1）∞（a2←x2））·m
=[∑（（a1→x1）∞1）（1∞（a2←x2））]·m
=∑（（a1→x1）∞1）·（（1∞（a2←x2））·m）
=∑（a1→x1）·（（a2←x2）·m）
这就完成了引理的证明。
引理1.2 设M是左X-模也是左A-模，若这两个模作用满足
a·（x·m）=∑（a1→x1）·（（a2←x2）·m），x∈X，a∈A，m∈M，
则M是一个左X∞A-模，模作用为
（x∞A）·m=x·（a·m），x∈X，a∈A，m∈M。
证明 对任意的x，y∈X，a，b∈A，m∈M，有
（x∞a）·（（y∞b）·m）=x·（a·（y·（b·m）））
=x·（∑（a1→y1）·（（a2←y2）·（b·m）））
=∑x·（（a1→y1）·（（a2←y2）b·m））
=∑（x（a1→y1）∞（a2←y2）b）·m
=（（x∞a）（y∞b））·m
和（1X∞1A）·m=1X·（1A·m）=m，所以M是一个左X∞A-模。
设（X，A）是一对匹配的双代数（或Hopf代数）。构造范畴（X，A）M如下
·（X，A）M中的对象是左A-模也是左A-模，且两个模作用满足下式
（*） a·（x·m）=∑（a1→x1）·（（a2←x2）·m），a∈X，x∈A，m∈M。
·（X，A）M中的态射为既是X-模同态又是A-模同态的影射。
（X，A）M中的对象称为（X，A）-交叉模，（X，A）M中的态射称为（X，A）-双模同态。
2）显然。
定理1.4 设（X，A）是一对匹配的双代数（或Hopf代数），则X∞AM和（X，A）M是同构的范畴。
证明 设M是一个左X∞A-模，令
x·m=（x∞1）m，a·m=（1∞a）·m，x∈X，a∈A，m∈M，
则由引理4.1知M成为一个（X，A）-交叉模，记作F（M）。于是得一个函子
F：X∞AM→（X，A）M
Ma F（M）
fa F（f）=f
其中f是X∞AM中态射。显然f既是左X-模同态也是左A-模同态，故F的定义合理。
另一方面，设M’是（X，A）-交叉模，命
（x∞a）·m’=x·（a·m’），x∈X，a∈A，m’∈M’。
则由引理1.2知M’成为一个左X∞A-模，记作G（M’）。若f：M’→N’是（X，A）M中的一个态射，则f既是X-模同态又是A-模同态。因此，对任意的x∈X，a∈A，m’∈M’，有
f（（x∞a）·m’）=f（x·（a·m’））
=x·f（a·m’）
=x·（a·f（m’））
=（x∞a）·f（m’），
即f是X∞A-模同态，这样我们得出另一个函子
G：（X，A）M→X∞AM
M’a G（M’）
fa G（f）=f
从F和G的定义可以看出FoG=id，GoF=id。故X∞AM和（X，A）M是同构的范畴。
注1.5 由于X∞A是一个双代数（或Hopf代数），所以X∞AM是一个monoidal范畴（见文献[1，3]）。而由引理1.3知， （X，A）M也是一个monoidal范畴。直接验证可知定理1.4中构造的函子F，G均是monoidal函子，因此X∞AM和（X，A）M是两个同构的monoidal范畴。
YD H-模全体所组成的范畴记作HYDH，其中的态射为既是左H-模同态又是右H-余模同态的线性映射。众所周知，HYDH是一个辨子monoidal范畴，见文献[1，3，10]。
设M是一个YD H-模，则由M的右H-余模结构可知M是一个左（H0）cop-模，模作用为
f·m=∑f（m1）m0，f∈（H0）cop，m∈M。
详细请参阅文献[1]。（（H0）cop，H）是一对匹配的Hopf代数。现在设f∈（H0）cop，h∈H，m∈M，则
所以h·（f·m）=∑（h1→f2）·（（h2←f1）·m），即M是一个（（H0）cop，H-交叉模。再由引理1.2或定理1.4知M是一个左D（H）-模，模作用为（f∞h）·m=f·（h·m），f∈（H0）cop，h∈H，m∈M。
记这样得到的D（H）-模M为F（M）。
若f：M→N是一个YD H-模同态，则易证f是左D（H）-模同态，这样得到如下结论
注1.8 若H是有限维的Hopf代数，则定理1.7中给出的函子F是一个范畴之间的同构，详细见[3，11]。
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参考文献：
（1）S。 Montgomery， “ Hopf Algebras and Their Actions on Rings ”， CBMS of AMS， 82， Providence， Rhode Island，1993.
（2）M 。 E。 Sweedler， “ Hopf Algebras ”， Benigamin， New York，1969.
（3）C。 Kassel， “ Quantum Groups ”， GTM155， Springer-Verlag， New York，1995.
（4）H。 X。 Chen， Braiding structures of double crossproducts， Tsukuba J。 Math。22（3），1998，589-609.
（5）S。 Majid， Quasitriangular Hopf algebras and Yang-Baxter equations， Internat。 J。 ModernPhysicsA5，1990，1-91.
（6）D。 E。 Radford， Minimal quasitriangular Hopf algebras， J。 Algebra157，1993，285-315.
（7）Y。 Doi and M。 Takeuchi， Multiplication alteration by two-cocycles-the quantum version， Comm，Algebra22（14），1994，5715-5732.
（8）H。 X。 Chen， Quasitriangular structures of bicrossed coproducts， J。 Algebra 204， 1998， 504-531.
（9）V。 G。 Drinfeld， Quantum groups， Proc。 Int。 Cong。 Math。， Berkeley， 1，1986，789-820.
（10）H。 X。 Chen and Y。 Zhang， Four-dimensional Yetter-Drinfeld module algebra over H4， J。 Algebra 296，2006，582-634.
（11）S。 Majid， “ Foundations of Quantum Group Theory”， Cambridge University Press， Combridge， 1995.
（12）G。 Hochschild， Structure of Lie groups， Holden-Day，1965.
（13）G。 Hochschild， Algebraic group and Hopf algebras， Illinios J。 Math。14，1970，52-65.
（14）G。 Hochschild and G。 D。 Mostow， Complex analytic groups and Hopf algebras， Amer。 J。 Math。 91，1969，1141-1151.