不等式的证明方法与技巧

德力根仓

（赤峰学院数学与统计学院，内蒙古赤峰 024000）

摘要：不等式问题是数学常见问题，而不等式的证明是中学生在学习中的一个难点，本文论述了不等式证明常用方法和技巧，对于帮助中学生克服不等式证明这一难点有重要价值；同时对于提高中学生的数学思维水平、提高分析问题和解决问题的能力大有帮助.

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关键词：不等式；方法；技巧

中图分类号：O122文献标识码：A文章编号：1673-260X（2015）08-0006-03

不等关系是客观世界中量与量之间一种重要的关系，而不等式则是反映这种关系的基本形式.在数学中，不等式是我们在学习中的一个重点和难点，其中不等式中的重点主要是证明不等式，解不等式以及不等式的应用三类问题.不等式的概念和性质是进行不等式的变换、证明和解不等式的根据.不等式的变换包括推出变换和等价变换两类.其实质是条件为结论的充分条件或必要条件这两种逻辑关系.

其实解不等式的技巧就是等价转化思想的应用，其过程为一系列的转化过程，因此要加强思维的严谨性，并注意分类讨论思想的渗透.

证明不等式的方法有比较法、综合法和分析法、反证法、换元法、分类讨论法、放缩法、数学归纳法、累次求极值法、函数法等.

1 比较法

其中比较法又可以分为比差和比商法，比差法即设有数a和b，若a-b>0，则a>b；若a-b<0，则a<b；若a-b=0，则a=b.比商法即设有数a和b且b≠0，若a/b>1，则a>b；若a/b><1，则a<b；若a/b>=1，则a=b.

得证.

2 综合法与分析法

综合法与分析法也是很常用的两种方法，由于两者只是在思维过程的顺序有所不同，因此在这里我们放在一起来分析和讨论.综合法即是利用题设和基本不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所需要证明的不等式的方法；而分析法是从欲证不等式的结论出发，通过分析使这个不等式成立的条件，只要这些条件在题目中具备，就可以断定原不等式成立.

即得证.

3 反证法

反证法即是先提出和定理中的结论相反的假定，然后从这个假定中得出和已知条件相矛盾的结果来，这样就否定了原来的假定而肯定了定理.也叫归谬法.事实上，反证法就是去证明一个命题的逆否命题是正确的，这与直接证明是等价的，但是可能其逆否命题比较容易证明.上述的过程得出了矛盾，事实上就是得出了“假设与题设不相融”这个结论，所以我们不能接受这个假设，所以这个假设的反面就是正确的，从而命题得证.有时候反证法能够使我们得到意想不到的效果.