甘肃省兰州市第二中学(730030)王国士
在电学实验中，用伏安法测量电阻、电源的电动势和内电阻等实验中，如何选择电学实验器材，设计测量电路，合理规范控制电路，使实验操作方便，实验误差较小，是中学物理实验的难点。电学实验具有灵活性和多样性，但基本的原则是：操作方便简单，原理合理完善，结论可靠精确，仪器安全低碳等各方面的综合考虑。本文简述测量电源电动势和内阻的方法及系统误差分析。
1用电流表和电压表
用电流表和电压表测E、r的两种方法，如图1(a)、(b)所示。(a)电路将造成误差的原因是电流表的分压作用，实质是将电源与电流表的串联看作电源，如图1(c)所示。E测=E，r测=r+RA，测得的电动势是准确的，测得的内阻偏大，内阻的绝对误差为：Δr=RA，相对误差为：Δrr=RAr。
如图1(b)所示的电路将造成误差的原因是电压表的分流作用，实质是将电源与电压表的并联看作电源，如图1（d）。E测=RVRV+rE，r测=RVRV+rr，测得的电动势和内阻均偏小，电动势绝对误差为：ΔE=rRV+rE，相对误差为：ΔEE=rRV+r。
内阻的绝对误差为：Δr=rRV+rr,相对误差为：Δrr=rRV+r。
由于RV?r， RA>r，测电源的电动势和内阻时，用图1（b）所示的电路误差较小，但如果在已知电流表的内阻准确值的情况下采用图1（a）所示的电路，既能准确地测量测电源的电动势，又能准确地测量测电源的内阻（r=r测-RA）。
例1：图2是利用图1（a）和图1（b）测旧电池的电动势和内阻时描绘的图线，利用图1（a）描绘是图线
(填“①”或“②)，测得电动势，内阻；利用图1（b）描绘是图线，测得电动势，内阻；你认为该电源电动势更接近，内阻更接近
。
解析：利用图1（a）描绘的是图线②，电动势为1?5 V，内阻7.5 Ω。利用图1（b）描绘的是图线①，测得的电动势1.4 V，内阻3.5 Ω。电源电动势更接近1.5 V，内阻更接近3.5 Ω。
2用电流表和电阻箱（或两已知定值电阻）测量
如给电流表和两已知定值电阻，测定电源的电动势及内电阻的电路如图3所示，闭合开关，调滑动变阻器，电阻为R1时，电流表为I1，电阻为R2时，电流表为I2，由闭合电路的欧姆定理得：
E=I1(R1+r)，E=I2(R2+r)。
由以上两式解得：r=I1R1－I2R2I2-I1,E=I1I2(R1－R2)I2-I1。
这种电路E测=E，r测=r+RA，测得的电动势准确内阻偏大。
闭合开关，调滑动变阻器，电阻为R，测得多组电流I和电阻R时，由闭合电路的欧姆定理得：E=I(R+r)，整理得：1I=1ER+rE，做出1I-R，如图4所示，在此图像上，斜率k=1E,E=1k,图线在横轴上的截距b=rE,则：r=Er=bk 。
例2:某同学在用图3所示电路测旧电池组电动势和内阻的实验中，闭合开关，调滑动变阻器，电阻为R，测得多组电阻R和电流I后，描绘出1I-R图，如图4所示，求该电源的电池的电动势和内阻。
解析：由闭合电路的欧姆定理得：E=I(R+r)，整理得：1I=1ER+rE，在此图线上，斜率1E=13，E=3 V，图线在纵轴上的截距：rE=2, 则r=2E=6 Ω。
例3：某同学要测量一节旧电池的电动势和内阻，实验器材仅有一个电流表、一个电阻箱、一个开关和导线若干，该同学按如图所示5电路进行实验，闭合开关，调滑动变阻器，电阻为R，测得多组电阻R和电流I后，描绘出R - 1I图 ，如图6所示。
(1)由图象可知，该电池的电动势E＝V，内阻r＝Ω；
(2)利用该实验电路测出的电动势E测和内阻r测与真实值E真和r真相比，理论上E测E真，
r测r真(填“>”、“<”或“＝”)。
解析：(1)由E=I(R+r)，整理得：R=E1I－r，由于R与1I成线性关系，在此图像上，斜率k=E=5.9 V (5.8～6.2 V都可以), 图线在纵轴上的截距值:r=2.0 Ω (1.8～2.2 Ω 都可以)。
(2)由于E测=I1(R1+r测），E测=I2(R2+r测）
E真=I1(R1+r真+RA），E真=I2(R2+r真+RA）
分析比较可解得:E测=E真，r测=r真+RA>r真
3用电压表和电阻箱（或两已知定值电阻）测量
电路图如图7所示，闭合开关，调节滑动变阻器，电阻为R1时，电压表为U1，电阻为R2时，电流表为U2。
由闭合电路的欧姆定理得： E=U1+U1R1r，E=U2+U2R1r
由以上两式解得：E=U1U2(R2－R1)U1R2-U2R1,r=(U2－U1)R1R2U1R2-U2R1。
测定电源的电动势及内电阻分别为：E测=RVRV+rE，r测=RVRV+rr，测得的电动势和内阻均偏小。
如闭合开关，调滑动变阻器，电阻为R时，测得多组电流U和电阻R时，由闭合电路的欧姆定理得：E=U+URr，整理得：1U=rE1R+1E，做出1U-1R图线，如图8所示。
在此图像上，图线在纵轴上的截距b=1E,E=1b,斜率： k=rE, 则：r=kE=kb。
同理：由E=U+URr，整理得：1R=Er1U－r，做出1R－1U，也可求电源的电动势及内电阻。
例4：为了测量由两节干电池组成的电池组的电动势和内电阻，某同学设计了如图9所示的实验电路，其中R为电阻箱，R0＝5 Ω为保护电阻。
(1) 断开开关S，调整电阻箱的阻值，再闭合开关S，读取并记录电压表的示数及电阻箱接入电路中的阻值。多次重复上述操作，可得到多组电压值U及电阻值R，并以1U为纵坐标，以
1R为横坐标，画出1U－1R的关系图线(该图线为一直线)，如图10所示．由图线可求得电池组的电动势E＝V，内阻r＝Ω。(保留两位有效数字)
(2)引起该实验系统误差的主要原因是。
解析：(1)由闭合电路欧姆定律得：E＝UR(r＋R0＋R)，整理得到1U＝r+R0E1R+1E，利用图中直线与纵轴的焦点数据求得E＝10.35，并保留两位有效数字即为2.9，还可以得到图线的斜率，即可得到电池内电阻r为1.1。
(2)由图9可知，该实验系统误差的主要原因在于电压表的分流作用，造成流过电阻箱的电流比流过电池组的电流小。
4其他方法
例5：现有一个阻值为R的定值电阻、一个电键、若干根导线和一个电压表。该电压表盘面上有刻度但无刻度值，要求设计一个能测量某电源内阻的实验方案。(已知电压表内阻远大于电源的内阻很大，电压表量程大于电源电动势，电源内阻约为几欧姆)
(1)画出实验电路图。
(2)简要写出完成接线后的实验步骤。
(3)写出用测得的量计算电源内阻的表达式r＝。
解析：(1)实验电路如图11所示，电压表指针偏转角度与通过电压表的电流，或者与加在电压表两端的电压成正比，因此表盘面无刻度值也可以用格数的多少表示电压的大小，设电压表每格的电压为U0，
(2)①断开电键，记下电压表偏转格数N1,电源电动势大小为N1U0；
②闭合电键，记下电压表偏转格数N2，R两端电压为N2U0。
(3)根据闭合电路欧姆定律得:E=N1U0，E=N2U0+N2U0Rr，
解得：电源的内阻r=N1－N2N2R。
例6：如图12(a)所示，电压表V1、V2串联接入电路中时，示数分别为6 V和4 V，当只有电压表V2接入电路中时，如图12(b)所示，示数为9 V，电源的电动势为()
(A) 9.8 V(B)10 V
(C)10.8 V(D)11.2 V
解析：设电源电动势和内阻分别为E和r，电压表V2的内阻为R2，根据闭合电路欧姆定律，图12(a)和图12(b)分别有：E＝6＋4＋4R2r，E＝9＋9R2r，解得：E＝10.8 V。故只有选项C正确。
例7：为测量电源的电动势及内阻。
(1)在下列3个电压表中选一个改装成量程为9 V的电压表。
A．量程为1 V、内阻大约为1 kΩ的电压表V1
B．量程为2 V、内阻大约为2 kΩ的电压表V2
C．量程为3 V、内阻为3 kΩ的电压表V3
选择电压表串联kΩ的电阻可以改装成量程为9 V的电压表。
(2)利用1个电阻箱、1只开关改装好的电压表，可视为理想电压表，画出测量电源电动势及内阻的实验原理电路图。
(3)根据设计的实验原理电路图进行实验，读出电压表示数为1.50 V时，电阻箱的阻值为15.0 Ω；电压表示数为2.00 V时，电阻箱的阻值为40.0 Ω，则电源的电动势E＝V、内阻r＝Ω。
解析：(1)根据串联电路中电压的分配关系知，将量程为3 V、内阻3 kΩ的电压表串联阻值6 kΩ电阻，可改装成量程为9 V的电压表，改装后电压表的内阻9 kΩ，故应选C。
(2) 测量电源电动势及内阻的实验原理图，如图13所示。
(3)由闭合电路欧姆定律得：
E=3U1+3U1R′1r
E=3U2+3U2R′2r将以上两组数值两式解得：
E=7.5 V,r=10.0 Ω。
例8：利用伏安法测量干电池的电动势和内阻，现有的器材如下。
干电池：电动势约为1.5 V；
电流表A1：量程20 μA，内阻100 Ω，
电流表A2：量程1 A；
滑动变阻器R1：最大阻值10 Ω，
电阻箱R2：最大阻值99?999 9 kΩ；
开关一个，导线若干。
设计合理的测量电源电动势和内阻的电路，在满足本实验要求的情况下提高实验的精确度。
解析：(1)所给的器材中没有电压表，可将量程为20 μA电流表A1改为量程为2 V的电压表，设计电路如14图所示，给电流表A1串联的电阻箱的阻值为R2=UIg－Rg=99.9 kΩ。
例9：根据闭合电路欧姆定律，用图15所示电路图可以测定电池的电动势和内电阻。图中R0是定值电阻，通过改变R的阻值，测出R0两端的对应电压U12，对所得的实验数据进行处理，就可以实现测量目的，根据实验数据在1U12－R坐标系中描出坐标点，如图16所示。已知R0＝150 Ω，请完成以下数据分析和处理。
(1)图15中电阻为Ω的数据点应剔除；
(2)在坐标纸上画出1U12－R关系图线；
(3)图线的斜率是(V－1Ω－1)，由此可得电池电动势Ex＝V。
解析：(1)由闭合电路欧姆定律得：Ex＝U12R0(R＋r)＋U12整理得：1U12＝
1ER0R+
1Ex
1+rR01U12-R 关系图线是一条直线，电阻R＝80.0 Ω, 1U12=1 V－1的点偏离直线上的距离较大应剔除。
(2)1U12-R关系图像上的图线如图17所示。
(3)斜率：k=1ExR0=1.42－0.70160=0?44 V－1Ω－1，解得：Ex=1.51 V。
收稿日期：2014-05-19