周晓聪，乔海燕
（中山大学信息科学与技术学院，广东广州510275）
摘要：离散数学是计算机科学与技术专业的重要基础课程，但是传统的离散数学教学往往过于数学化。文章探讨如何针对计算机科学与技术专业的特点，在离散数学教学中强化对学生逻辑思维和计算思维能力的培养，提出一些课程教学改革的针对性措施。
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关键词 ：离散数学；逻辑思维；计算思维
文章编号：1672-5913(2015)15-0027-04 中图分类号：G642
基金项目：中山大学2012年教学研究项目“计算机大类离散数学课程平台的整合优化”。
第一作者简介：周晓聪，男，副教授，研究方向为软件工程，isszxc@mail.sysu．edu．cn。
1 背景
离散数学是现代数学的一个重要分支，研究离散对象的结构及其相互关系。离散数学的主题包括数理逻辑、集合论、图论、组合数学、数论、抽象代数、自动机理论等。离散数学被看做计算机的数学，是计算机类各专业的核心基础课程，也是计算机类专业许多核心课程（如数据结构、编译原理、数据库原理、人工智能等）的先导课程，因此，学好离散数学对于计算机类专业的学生具有重要意义。在实际教学实践中，学生要学好离散数学有一定困难，教师在选择教学内容和教学方法时也存在问题。
2 基本思路
离散数学是计算机类专业的核心基础课程，内容多且较抽象，学生学习离散数学时存在一定的困难。早期的离散数学教学过于数学化，如文献等都是从数学的角度展开离散数学的知识讲解，其内容与计算机专业知识联系不大。随着教育部计算机科学与技术专业规范的制定与推广，离散数学课程的教学内容逐渐加强了与计算机专业知识的联系。但在实际教学实践中，不同层次的院校仍然存在不少问题。
我们对离散数学课程的教学改革进行了一系列的探索。最初我们采用耿素云老师编著的教材，在大一年级上、下学期各开设4学分的离散数学课程，讲述包括数理逻辑、集合论与图论、组合数学以及抽象代数的知识；为强化学生离散数学基础，针对计算机科学与技术专业、网络工程专业和信息安全专业的不同需求，将离散数学课程分为3门课程（数理逻辑、集合论与图论、代数结构），分别在大一上、下学期开设，其中集合论与图论作为3个专业共同的必修课程，数理逻辑作为计算机科学与技术专业的必修课程、网络工程专业的选修课程，代数结构作为网络工程专业和信息安全专业的必修课程、计算机科学与技术专业的选修课程；为适应大类招生模式和计算类专业转型，我们在计算机大类的大一下学期开设了6学时的离散数学基础课程，并从大二开始开设图论及其应用、代数结构、数理逻辑、组合数学与数论、形式语言与自动机等一系列离散数学课程。
在这一系列探索中，我们遇到了一些问题：首先是课程教学目标定位的问题，其次是教学内容选择的问题，最后是教学方法与教学模式的问题。
在课程教学目标定位方面，作为研究型综合性大学的计算机专业，学生要夯实在数学方面的基本素养，这不仅需要掌握有关逻辑与证明、集合、函数与关系、组合计数、图与树等方面的基本知识，还需要提高数学思维能力，并且强化与计算机专业知识的联系。但是目前多数教材都增加内容广度，减弱内容深度，因此如何明确课程的教学目标是首要问题。为此我们在深入学习专业规范的基础上，对现有的国内外著名离散数学教材进行了调研与分析，并结合计算机大类培养的特点，选择Rosen编写的国外著名教材《离散数学及其应用》作为首选教材。为了进一步强化学生的离散数学基础，除了给大一下学期学生开设离散数学基础课程之外，我们还为大二至大三的学生开设图论及其应用、代数结构、数理逻辑、组合数学与数论、形式语言与自动机等一系列课程。我们将离散数学类课程的教学目标定位在不仅培养学生掌握离散结构的基础知识，还要培养学生在逻辑思维和计算思维方面的能力上，我们希望能将这两种思维能力的培养一直贯穿在离散数学类中。
在确定离散数学课程的教学目标后，我们立足于教材对教学内容进行精心选择，在与课程组老师多次研讨的基础上，形成了离散数学基础课程以及各门选修课程的详细教学大纲，列出了基本知识点与可选知识点。
3 措施与效果
由于离散数学课程对计算机专业很重要，高校对离散数学课程的教学改革做了许多探索，近年来教师对培养学生的逻辑思维能力、系统建模能力、计算思维能力也越来越重视。
首先，教材的选择最重要。我们经过对国内外著名教材的分析，最终选择Rosen编著的《离散数学及其应用》（英文影印版）作为首选教材。该教材的特点有：①内容比较全面，完全符合教育部计算机科学与技术专业规范对离散数学课程的要求；②例题、习题非常丰富；③每章后面有重要概念和总结；④“写作项目”( writingprojects)和“编程项目”(computer projects)可作为课程的实验和设计题目；⑤与计算机专业课程的联系非常紧密，列出了许多在计算机后续课程（如数字电路设计、数据库、人工智能等）应用离散数学知识的内容。
该教材有两个重要特点：其一，教材中不仅有一章专门讲述归纳证明和定义的基本知识，而且在组合计数、算法分析、集合与关系等多处介绍递归和证明的概念与应用；其二，教材讲解了有关算法的基本概念，给出了一种算法描述伪语言。
我们认为提高逻辑思维能力的基本要求应体现在思维严谨、条理清晰两方面。思维严谨要求在求解问题或推理时每一步都有逻辑依据；条理清晰要求学生在遇到问题时有比较清晰的求解思路。因此，教师在教学中要适当增加形式化推理的内容，对非形式化的证明技巧分门别类，从直接推理、间接推理、反证法、分情况证明、构造性证明、非构造性证明到归纳证明详细举例讲授；结合自顶向下的求解思路讲解数学证明中后向推理的分析方法，给学生讲清楚自顶向下分析与自底向上构造之间的异同，为学生理清问题求解思路，强化学生逻辑思维能力的培养。
在培养学生的计算思维方面，教师可要求学生在理解主要算法思想的基础上，结合程序设计课程的知识实现其中一些算法，还可结合教材中的“编程项目”指导学生编写一些程序。在教学实践中，为了让学生对教材中的主要算法有直观的认识，我们与学生一起编写了一些算法的演示系统。例如，图1给出了求从一个节点到所有节点最短路径的Dij kstra算法演示系统，它可给出该算法求解的每一步中间结果，从而使学生对该算法的运行有直观的理解。实践表明，这种演示对学生理解算法有比较大的帮助。
为了让学生更容易抓住重点，且有针对性地完成教材中的习题，教师可对教材中诸多知识点进行梳理，给出知识点之间的关联关系以及知识点与习题之间的覆盖关系。例如图2总结了逻辑等值这一节中重要知识点之间的关联关系，其中着色的是这一节的知识点，而没有着色的是前面章节的知识点。图3给出了部分知识点与习题之间的覆盖关系，其中菱形框中给出了这一节相应习题的编号。由于我们选择的是英文影印版教材，因此上述图中的知识点使用英文概括。初步调查表明，学生比较欢迎这种知识关联图，认为有助于梳理教材内容，便于复习和做习题。
基于这种知识点关联图，教师可进一步探讨课程的教学模式。在课程中，教师可利用这种知识点关联图向学生展示要讲授的知识点及其关联关系，对于细节则要求学生自己预习和复习；在课堂上可利用教材例题习题丰富的特点，精选一些相关的习题进行讲解。教学实践表明，这种方式有助于加深学生对知识点的理解，也有助于活跃课堂气氛，提高学生的学习兴趣。我们还对课程的考核做了一些改革，除了期中、期末考试之外，在教学过程中会不定期地进行小测验。
为了调查教学改革的效果，我们设计了问卷对2012级部分学生进行调研，回收75份有效问卷。37位学生（占50%左右）认为所选教材难度适中，52位学生（占70%左右）认为课程教学内容与计算机专业知识联系紧密，40位学生（占53%左右）认为提前接触算法知识对学习计算机专业课程最有帮助。以上结果表明该课程所选教材与教学内容比较符合学生的期待，引起了学生学习离散数学的兴趣。41位学生（占54%左右）非常认可我们的教学模式，40位学生（占53%左右）认为上课听讲很有收获。这些结果表明至少一半的学生认为课堂的教学效果良好。当然学生对幻灯片、作业批改、师生互动也提出不少建议，我们会借鉴并在今后的教学实践中做进一步的改进。
4 结语
课堂实践表明我们的教学内容与计算机专业知识联系比较紧密，很符合学生的期待，超过一半的学生认可我们的教学模式。未来我们将在实践中不断改进，继续把这种课程教学研究方法运用到其他课程中。
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（编辑：孙怡铭）