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数量关系式是解决分数实际问题的一把“钥匙”

  • 投稿金知
  • 更新时间2015-08-30
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江苏南京市象山小学(210000) 管景强

[摘 要]运用数量关系式,可以让我们找到解决分数实际问题的“钥匙”。那么,怎样才能准确找到解决分数实际问题的这把“钥匙”呢?通过案例分析,发现对分率的理解与分析是关键。因此,课堂教学中,教师要教会学生准确找出数量关系式的方法,提高学生解决分数实际问题的能力。

[关键词]数量关系式 分数实际问题 解题能力

[中图分类号] G623.5  [文献标识码] A  [文章编号] 1007-9068(2015)05-032

典型的分数实际问题都隐含着基本的数量关系式,即“单位‘1’的量×分率=分率所对应的数量”,用好这个数量关系式,能够让我们找到解决分数实际问题的“钥匙”。那么,怎样才能准确找到解决分数实际问题的这把“钥匙”呢?其中,对分率的理解与分析是关键。

一、理解关系句中分数的意义,准确找出数量关系式

现行教材已淡化分率这一概念,可在分数实际问题中,一般都含有用分数表示两个数量间倍比关系的句子(可称为关系句),而句中的分数也是分率。它表示的就是“单位‘1’的量”“分率所对应的数量”这两个数量之间的倍比关系,即“分率所对应的数量”是“单位‘1’的量”的几分之几。我们从关系句中的分率入手,明确谁是谁的几分之几,就能轻松找出分数实际问题中的基本数量关系式。

1.标准句式

关系句中可以明显看出谁是谁的几分之几。如“黑兔只数是白兔的2 / 3”,从中可以看出这里的2 / 3是把白兔的只数看作单位“1”,指的是黑兔只数是白兔只数的2 / 3;反过来说,白兔只数的2 / 3就是黑兔的只数。因此,此题的数量关系式就可以列为“白兔×2 / 3=黑兔”。

2.省略句式

关系句中隐含或省略了一些关键词语,这时就需要先补充完善关系句后再进行分析。如“同学们去植树,第一天植了2 / 5”,这里可以让学生先想想第一天植的是谁的2 / 5,待学生弄清“第一天植树的棵数是植树总棵数的2 / 5”后,自然就可以列出题中的数量关系式为“总棵数×2 / 5=第一天植的”。再如“用去一些后,还剩3 / 7”,这里可以让学生先想想谁是谁的3 / 7,因为有“用去一些后”这几个字的干扰,学生可能会出现两种观点:一是还剩的是原有的3 / 7;二是用去的是原有的3 / 7。接着,教师可引导学生进行对比分析,得出正确的数量关系式为“原有的×3 / 7=还剩的”。另外,“一个数量比另一个数量多几分之几或少几分之几”的问题,也是学生最容易混淆和出错的。如“红花的朵数比黄花多3 / 5”,实际上这句话补充完整应该是“红花比黄花多的朵数是黄花朵数的3 / 5”,要让学生理解这里的3 / 5是把黄花的朵数看作单位“1”,平均分成了5份,红花比黄花多的朵数是这样的3份(可以借助线段图理解),数量关系式也就可以列为“黄花×3 / 5=红花比黄花多的”。

不过,需要注意的是,分数实际问题中有的分数并不表示数量间的倍比关系,而是用分数表示具体数量。

3.区别分数表示的是分率还是具体数量

如有这样一道题:“有两根彩带,第一根3米,第二根比第一根长1 / 4米,第二根长多少米?”有学生算出的结果是3■米或3.75米,怎么得来的呢?实际上,学生是把这里的“长1 / 4米”当作“长1 / 4”来计算了,这里的“1 / 4米”是指具体数量而不是分率。

区别分数表示的是分率还是具体数量有一个简单的办法,就是看分数后面有没有单位名称,没有单位名称的话就是分率,表示的是数量间的关系;有单位名称的话,就表示具体数量。如果教学仅到此就止步,会发现学生遇到这样的问题时还会犯类似的错误,因此我们应该让学生弄清“1 / 4”与“1 / 4米”之间的本质不同。在教学中,我们可以经常进行这样的练习:“两根同样长的钢管,第一根用去2 / 5米,第二根用去2 / 5。哪一根用去的长一些?”(苏教国标版小学数学六年级上册第51页的思考题)像这样的问题,答案不是唯一的。通过讨论,教师要让学生清楚“用去2 / 5米”中的“2 / 5米”是把“1米”看作单位“1”,平均分成5份,表示其中的2份,化成小数可以是0.4米,用分米作单位是4分米,用厘米作单位就是40厘米,这是一个具体的、确定的、实实在在的长度,所以是个具体的数量。而“用去2 / 5”中的“2 / 5”是把一根钢管看作单位“1”,“2 / 5”是针对这根钢管而言的,表示的是用去的长度与这根钢管长度这两个数量间的倍比关系,因为钢管的长度是未知的,所以这根钢管的2 / 5也是未知的,从而得到三种不同的结果:当这根钢管的长度大于1米时,用去的长度就大于1米的2 / 5,即大于2 / 5米;当这根钢管的长度等于1米时,用去的长度就等于1米的2 / 5,即等于2 / 5米;当这根钢管的长度小于1米时,用去的长度就小于1米的2 / 5,即小于2 / 5米。学生产生这种不确定性的原因是不理解“2 / 5米”与“2/ 5”之间的差异,当学生有了深刻的认识后自然会认识到单位名称的重要性,进而从本质上理解了分数后面带不带单位名称的区别,正确分析出问题中数量间的关系。

4.找出隐含的数量关系式

从关系句中的分率入手,明确谁是谁的几分之几,可以找出分数实际问题的基本数量关系式。实际上,结合关系句中的已知信息,通过数学联想,还可以找出题中隐含的信息,从而找出隐含的数量关系式。如看到“一根绳子,用去1 / 3”时,可以想到“这根绳子还剩1-1 / 3”,就能得到数量关系式“一根绳子×(1-1 / 3)=还剩的”;看到“公鸡的只数占鸡总数的2 / 5”时,可以想到“母鸡只数占鸡总数的1-2 / 5”,从而得到数量关系式“鸡总数×(1-2 / 5)=母鸡只数”;看到“现价比原价便宜1 / 3”,可以想到“现价应该是原价的1-1 / 3”,得到数量关系式“原价×(1-1 / 3)=现价”;看到“一堆煤,第一天用去1 / 7,第二天用去2 / 5”,可以想到“还剩的”是这堆煤的1-1 / 7-2 / 5,可以得到数量关系式“一堆煤×(1-1 / 7-2 / 5)=还剩的”……学生分析关系句时往往通过关键词,如“用去”“便宜”“还剩”等,进行数学联想找出题中隐含的数量关系式。这里,教师要注意引导学生,如果感到解决问题有困难,可以通过画线段图的方法,寻找数量与分率间的对应关系来确定题中的数量关系式。如上面例中看到“一根绳子,用去1 / 3”“现价比原价便宜1 / 3”等,就可以通过画线段图来找出分率与数量的对应关系。如下图:

从图中可以明显看出,“用去的长度”对应的分率是1 / 3,“还剩的长度”对应的分率是1-1 / 3,从而得到隐含的数量关系式为“一根绳子×(1-1 / 3)=还剩的”;“现价比原价便宜的”对应的分率是1 / 3,“现价”对应的分率是1-1 / 3,从而得到隐含的数量关系式为“原价×(1-1 / 3)=现价”。

二、运用数量关系式,解决分数实际问题

例1.世界上最小的洲是大洋洲,面积大约900万平方千米。(1)欧洲的面积是大洋洲的10 / 9,是北美洲的5 / 12。(2)北美洲的面积是亚洲的6 / 11,是南极洲的12 / 7。(3)南美洲的面积是北美洲的3 / 4,是非洲的3 / 5。分别算出各个洲的面积。(苏教国标版小学数学六年级上册第65页第12题)

本题是“求一个数的几分之几是多少”与“已知一个数的几分之几是多少,求这个数”这两种分数实际问题的混合运用,题目中条件多,数量间的关系复杂,到底是用分数乘法计算,还是用分数除法或方程计算,学生往往分辨不清。这时,理清各数量间的关系,通过列出数量关系式来分析问题就能取得很好的效果。为了节省时间,提高教学效率,列数量关系式时,教师可以要求学生简写数量关系式,已知量可以标出在关系式下方,未知量可以用“?”表示。如下:

(1)欧洲的面积是大洋洲的10 / 9,是北美洲的5 / 12。

大洋洲×10 / 9=欧洲 北美洲×5 / 12=欧洲

900 ? ? 1000

(欧洲:900×10 / 9=1000) (北美洲:1000÷5 / 12=2400,或列方程解)

(2)北美洲的面积是亚洲的6 / 11,是南极洲的12 / 7。

亚洲×6 / 11=北美洲 南极洲×12 / 7=北美洲

? 2400 ? 2400

(亚洲:2400÷6 / 11=4400,或列方程解) (南极洲:2400÷12 / 7=1400,或列方程解)

(3)南美洲的面积是北美洲的3 / 4,是非洲的3 / 5。

北美洲×3 / 4=南美洲 非洲×3 / 5=南美洲

2400 ? ? 1800

(南美洲:2400×3 / 4=1800) (非洲:1800÷3/ 5=3000,或列方程解)

对列出的数量关系式进行分析后,可使复杂的数量关系明朗化,解决问题的思路和方法也就明确了。

例2.光明畜牧场养了900头肉牛。(1)肉牛比奶牛少1 / 5,奶牛有多少头?(2)奶牛比肉牛多1 / 4,奶牛有多少头?

本题是稍复杂的分数实际问题,通过关系句,我们可以列出基本数量关系式来分析。如下:

(1)奶牛×1 / 5=肉牛比奶牛少的 (2)肉牛×1 / 4=奶牛比肉牛多的

? ? 900 ?

对于第(2)题,很明显可以先求出奶牛比肉牛多的头数,再加上900就可以求出奶牛的头数。而对于第(1)题,列出的数量关系式中奶牛头数与肉牛比奶牛少的头数都是未知的,这样就没法算出奶牛的头数。这时,通过关系句“肉牛比奶牛少1 / 5”还能想到:把奶牛的头数看作单位“1”,肉牛比奶牛少的头数是奶牛头数的1 / 5,那么肉牛头数就应该是奶牛头数的1-1 / 5,可以找出隐含的数量关系式“奶牛×(1-1 / 5)=肉牛”。同理,第(2)题也能找出类似形式的隐含数量关系式(如下)。

(1)奶牛×(1-1 / 5)=肉牛 (2)肉牛×(1+1 / 4)=奶牛

? 900 900 ?

从中可以发现,通过上面的数量关系式可以很容易算出所求的问题。

例3.商店运来一批水果,第一天卖出9 / 20,第二天卖出105千克,还剩全部水果的3 / 8,这批水果共有多少千克?

通过关系句,可以列出如下的基本数量关系式。

一批水果×9 / 20=第一天卖的 一批水果×3 / 8=还剩的

? ? ? ?

本题运用上面的基本数量关系式解决不了所求问题,那么可以找隐含的数量关系式来分析解决问题。先画出线段图,如下。

从图中可以看出,“第二天卖出的105千克苹果”对应的分率应该是这批水果的(1-9 / 20-3 / 8),可以通过数量关系式来解决本问题,列式为105÷(1-9 / 20-3 / 8),或用方程解。

如上述例子所示,当通过基本数量关系式不能解决问题时,我们可以寻找隐含的信息,从中找出隐含的数量关系式,通过分析隐含的数量关系式,方便我们解决一些稍复杂的分数实际问题。当然,解决分数实际问题的方法和途径还有很多,通过列数量关系式来解决只是其中最基本的一种方法,运用好数量关系式这把“钥匙”,对学生解决分数实际问题能力的提高会有显著的效果。我们在实际运用时,不必强求学生都要书面列出数量关系式,熟练者能在脑中浮现这样的分析过程即可。

(责编 杜 华)