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介绍一道原创“数学文化”高考模拟题

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  • 更新时间2018-05-21
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  【摘要】2016年10月8日,教育部考试中心公布了《关于2017年普通高考考试大纲修订内容的通知》(教试中心函〔2016〕179号).关于数学科目修订的内容之一就是增加了对数学文化的要求.本文由电视剧《爱情最美丽》的主台词编拟了一道原创“数学文化”高考模拟题,涉及等比数列、近似计算、计数原理和数论知识,供读者欣赏.


  【关键词】数学文化;等比数列;近似计算;电视剧《爱情最美丽》


  题目电视剧《爱情最美丽》(张国立导演,北京国立常升影视文化传播有限公司,2013年)主台词(见第6集):你听说过吗?前世五百次的回眸,换来今世的一次擦肩而过;前世五百次的擦肩而过,换来今世的一次相遇;前世五百次的相遇,换来今世的一次相识;前世五百次的相识,换来今世的一次相知;前世五百次的相知,换来今世的一次相爱.如果你的爱情出现了,你们一定会从人群中,一眼找到彼此.不管中间隔了多少险阻,都一定会遇到.这,就叫做缘分!


  由这段话还可得到一个首项和公比均为500、项数为5的等比数列an:


  前世a1次的回眸,换来今世的一次擦肩而过;前世a2次的回眸,换来今世的一次相遇;前世a3次的回眸,换来今世的一次相识;前世a4次的回眸,换来今世的一次相知;前世a5次的回眸,换来今世的一次相爱.


  请你回答以下问题:


  (1)已知一年大约是365×24×3600=31536000(秒).若回眸一次用时1秒,则换来今世的一次相爱,前世需用个(精确到1)十万年的时间来回眸;


  (2)正整数a5的正约数个数是;


  (3)若正整数a5的正约数和是A,则42047A+1是位数(其中[x]表示不超过实数x的最大整数).(参考数据:lg2≈0.3010)


  解可得a5=500·5004=210515,因而a5的全部正约数组成的集合是{2α5β|α=0,1,2,…,10;β=0,1,2,…,15}.


  (1)换来今世的一次相爱,前世需用a5=5005=3.125×1013秒时间来回眸.因为


  3.125×101331536000=3.125×10133.1536×107=31.253.1536×105


  3.1536×9.5<3.2×9.5=30.4<31.25


  9.5<31.253.1536<10.


  从而可得所求答案是10.


  (2)由分步计数乘法原理可得a5的正约数个数是(10+1)(15+1)=176.


  (3)可得


  A=(1+2+22+…+210)(1+5+52+…+515)=1-2111-2·1-5161-5=20174(516-1),


  42047A+1=516,


  可得42047A+1即516的位数是[16lg5]+1,也即17-[16lg2].


  由lg2≈0.3010,可猜测4<16lg2<5,对其严格证明如下:


  由4lg2=lg16>1,可得4<16lg2;由211=2048<3125=55,可得216<105,16lg2<5.


  所以4<16lg2<5,17-[16lg2]=12.


  因而42047A+1即516是12位数.


  考查目标(1)阅读理解能力;(2)等比数列的通项公式及其求法;(3)用不等式的放缩法得出相应的近似计算估值;(4)用分步计数乘法原理解决相应的计数问题;(5)用相应的数论知识解题.


  设计思路2016年10月8日,教育部考试中心公布了《关于2017年普通高考考试大纲修订内容的通知》(教试中心函〔2016〕179号).关于数学科目修订的内容之一就是增加了对数学文化的要求.本文由电视剧《爱情最美丽》的主台词编拟了一道原创“数学文化”高考模拟题,涉及等比数列、近似计算、计数原理和数论知识,供读者欣赏.


  针对此题,笔者也谈一点当前的高考复习备考.最有效的教法是讲练结合,最有效的学法是“夯实基础、激发兴趣、着眼高考、适当提高”.学困生的学习方法必须要有一种锲而不舍的精神:听老师五百次的讲课,换来一次听懂;昨天五百次的听懂,换来今天的一次会做题;昨天五百次的会做题,换来今天的一次熟练解题;昨天五百次的熟练解题,换来今天的一次巧解;昨天五百次的巧解,换来今天的一次融会贯通;昨天五百次的融会贯通,换来今天的一次考取名校.努力吧,天道酬勤!


  笔者根据电视剧《政协主席》片尾曲《心里装着谁》(作词:阎肃,作曲:孟慶云,演唱:佟铁鑫)的歌词改编成《心里装着什么》赠送给读者朋友:


  师心里装着教法,生心里装着学习,在这拼搏奋进的时刻,想一想心里装着什么?


  马心里装着千里,鹰心里装着高飞,在这潮奔浪涌的时代,问一问心里装着什么?


  我们走过了千山万水,面对大野的芳菲,心里装着要用的知识啊,便心无旁骛地迎接每一个朝阳!


  有些事,一生只能遇到一次,高三就是;有些事,一次影响一生,一个人的第一学历、第一次婚姻、第一份工作、与他人之间的第一印象等等都是.高三师生们,拼搏奋进吧,你定会成功的!


  难度估计0.52


  作者简介甘志国(1971—),湖北竹溪人,高级教师,特级教师,研究方向:解题研究、高考研究和初等数学研究.