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由悖论看概念的可操作性

  • 投稿赵勇
  • 更新时间2015-09-14
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摘要:本文主要考察几个常见悖论,指出悖论的产生通常是由于其涉及的概念没有可操作性,并进行了一些分类,最后则把“说谎者悖论”转化为一个可用反证法证明的问题。

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关键词 :悖论;概念;可操作性

悖论是个很有趣的话题,如有名的“说谎者悖论”——“我在说谎”。这句话是真是假呢?假定它为真,将推出它是假;假定它为假,将推出它是真。

但悖论之所以悖,往往是因为其涉及的概念没有可操作性。区分起来,大致有以下几种情况:(1)概念本身就违反基本的科学定律或常识;(2)概念涉及的对象需要分类,但其分类却不够完备,没有考虑到所有的可能性;(3)概念的界定与通常意义不同,却又不加区分地混用,实际上就是偷换概念;(4)概念的界定不够明确,或者根本没有任何界定,无法应用于具体事物;(5)应用概念时,条件发生了变化,或者引入了额外的因素,而论证时却忽略了。当然,以上的分类并不是那么严格,相互间可能有交叉重叠,甚至有些情况可能都没有被涵盖。

实际上,“说谎者悖论”还包含一个隐性假设:单单从这句话我们可以判断它的真假。但这是不可能的,除了逻辑上永真或永假的命题,其他任何命题我们都不能只从命题本身来判断真假。事实上,“我在说谎”并不涉及任何实质性的内容,根本就无从判断。既然不可能,那么上面假定怎么样将会怎么样的推理,就只不过是毫无意义的屠龙术。其分类可归于(1),也可归于(2)。

再比如芝诺有名的“ 飞矢不动悖论”——射出去的箭是不动的:因为芝诺认为箭在每一个瞬间都有确定的位置,占据着和自身体积一样大小的空间,并由此认定箭在每一瞬间都不动;既然箭在每一瞬间都不动,它又怎么会动呢?我们必须说,芝诺对“不动”的界定并不符合通常的定义——在考察的时段内(无论多么短,都不能为零),每一个瞬间都在同一个位置;实际上,在一个长度为零的单一瞬间,是不可能定义“不动”的。而且,每一个瞬间都有确定的位置,并不必然意味着每一个瞬间都在同一个位置,还可以每一瞬间在确定但不同的位置——按照通常的定义,这其实就是“动”。另外,芝诺在悖论里并没有对“动”进行定义,事实上,如果把每一个瞬间都有确定的位置定义为“不动”,根本就不可能再定义“动”。分类上可归于(3),也可归于(4)。

芝诺还有一个“阿基里斯追龟悖论”,如果用箭代替阿基里斯,并假设乌龟不动,则该悖论可以简化为:一支箭永远不可能从A点飞到B点。仿照芝诺的“二分悖论”,可以这样论证:一支箭要从A点飞到B点,必先飞到AB的中点,而从中点到B点还有中点,……如此下去有无数的中点,永远不可能到达B点。当然,在“二分悖论”中,芝诺找中点的方向刚好和我们相反,但实质上是同一回事——用庄子的话说,即“一尺之棰,日取其半,万世不竭。”

有人认为,该悖论的问题在于空间的无限可分性是不真实的——据说,古希腊的哲人提出原子论就是为了规避这一悖论。原子论当然可以规避这一悖论,但这似乎也不是问题的全部。还有人认为,悖论的根源是芝诺没有极限的概念,不知道无穷级数之和也可能收敛。但即使如此,如果你问芝诺:一尺之棰分无数段,再照原样接起来会是多长?我们想,他的回答应该是一尺,而不会是无限长。(不过,如果真这么想的话,不需要任何的数学技巧,芝诺至少是可以得出1=1/2+1/4+1/8+……的结论,至于这结论最早由谁提出,还有待考证。)

有一个问题是,“一尺之棰”和“万世不竭”是怎么联系起来的呢?“ 日取其半”!也就是说,“取其半”这个操作总对应一“日”的时间;或者说,空间虽然是无限可分的,但时间却不是。当然,芝诺并没有像庄子一样,明确规定他找中点的操作和时间之间的具体关系,但从操作性上考虑,我们认为,芝诺实际上是依赖了一个类似庄子那样的隐性假设。或者说,一支箭永远不可能从A点飞到B点,应该理解为:一支箭从A点飞到B点,需要无限长的时间。

但如果时间也无限可分,就不见得是悖论了。至少,我们是可以这样设想一个操作:让空间上一段距离对应一段时间间隔,相应于空间距离上找中点的操作,也有一个时间间隔上找中点的操作,两者一一对应,同时完成;并且规定每次找中点的操作所需的时间,就是上一次找中点后剩余时段的一半。这样,虽然操作仍是无限的,但总时间却是有限的,也就是说:一支箭可以在有限的时间内,从A点飞到B点。

也许有人说,即使时间无限可分,如果像下面这样来规定操作,似乎也还是悖论:第一次找中点的操作用1 秒时间完成,第二次用1/2秒,第三次用1/3秒,……简而言之,即第n次用1/n秒。由于1+1/2+1/4+1/8+……是发散的,所以需要的时间仍然是无限长。

真正的问题其实在于,不论是这个操作,还是“日取其半”的操作,实际上都是规定箭在减速运动,而且箭趋近于B点时的极限速度为零。这显然违背伽利略的惯性原理:如果不考虑空气阻力以及重力影响的话,箭在射中目标前应该保持匀速直线运动;实际上,只有我们前面给出的操作,才满足这一要求。

当然,芝诺不可能知道惯性原理,不过,即使从古希腊运动需要力维持的观点看,减速也应该需要力是变化的。既然有变化因素存在,不同的情况得出不同的结论,实在是很自然的事情;各有原因的不同结论之间,当然不存在“悖”的问题。这样理解的话,分类可归于(5)。

下面,我们来看罗素悖论,《现代数学引论》的表述如下——“每个集合S本身不能又是S的元素”(也即S ? S),“如果允许S∈S,就会混淆层次,导致矛盾。把一切集合分成以下A和B两类:A={S∣S ? S},B={S∣S∈S}。则每个集合都属于其中一类,我们问集合A属于哪一类?如果A属于A,这和A的定义矛盾;如果A属于B,自然A就不属于A,这有和B的定义矛盾。”

首先,这涉及到怎么理解“每个集合S”的问题。我们认为,“每个集合S”应该理解为——S可以代表任何一个集合:那么,如果允许S∈S,其实也就是说任何一个集合都具有自身是自身元素的性质,那就不可能还有自身不是自身元素的集合;同理,如果允许S ? S,也就不可能还有自身是自身元素的集合。换句话说,集合要么只有A 类,要么只有B 类,不可能既有A类,又有B类。很显然,罗素并不是这么理解的。

其次,即使集合既有A类,又有B类,罗素悖论仍有一个致命的缺陷——A 类和B类的二分法并不完备,也即A类和B类并不能涵盖一切集合。因为集合既有A类,又有B类,我们当然可以从A类和B类中各取一个集合,来构成一个新的集合C,很显然,集合C就既不属于A类也不属于B类。

另外,我们认为,单纯从悖论本身的分析来看,似乎也只能得出这样的结论:导致矛盾的是S ? S,而不是S∈S。因为,按我们引述的分析,即使排除S∈S,集合A依然无法归类,不能自洽。但如果我们问,集合B 属于哪一类?依照其分析逻辑,集合B属于B类是符合定义的,反倒很是自洽。事实上,从归谬法或反证法的角度看,如果要排除S∈S的可能性,后者才是真正应该问的问题。

也许,根本的问题在于,罗素对S∈S和S ? S的理解有问题。我们认为,一个集合是其自身的一个元素(S∈S),应该理解为,一个集合只是自身的一部分(或者说,一个集合小于自身),但这是违反同一律的:对于“每个集合S”,同一律即S=S,应该理解为,一个集合是且仅是自身的全部。而一个集合不是自身的一个元素(S? S),则应该理解为,一个集合不可能只是自身的一部分;当然,一个集合也不可能大于自身(最简单的理解是把S ? S倒着看,复杂一点的话,就把一个集合大于自身,理解为S∈S倒着看,然后用同一律否定)。所以,在实质上,S ? S就是同一律S=S。同时要说明的是,S∈S还违反矛盾律:一个集合既小于自身(正着看)又大于自身(倒着看)。

事实上,如果承认S∈S,我们还会遇到一个麻烦——没有空集和全集的概念。没有空集比较好理解:假设存在空集,因为S∈S,空集自身就是它自身的一个元素,既然有元素,当然不可能是空集了。至于没有全集,最好还是从违反同一律或矛盾律的角度来理解。当然,我们似乎也可以这样反证:假设存在一个全集,根据S∈S,我们可以构造一个更大的全集,而这就意味着之前假设的全集是不全的。但是,这个论证的有效性是很值得怀疑的,因为在S∈S的情况下,全集本来就是一个绕来绕去、纠缠不清的概念。

以上所述各种谬误,其实并不仅仅局限于悖论,即便有的所谓定理,也只不过是谬误导致的结果。比如大名鼎鼎的“科斯定理”—— 如果产权清晰且交易费用为零,那么在资源配置的最优化上,“对损害不负责任”和“对损害负有责任”的两种定价制度是等效的。

一般而言,经济学上的资源配置最优化都是帕累托最优意义上的,也即需要满足一个必要条件——不能有任何人权益受损,或者说,被损害的必须得到足够补偿:显然,在“对损害不负责任的定价制度”里,这是不可能的。因而,在帕累托最优的意义上,两种定价制度根本无法进行比较;不但如此,即使同为“对损害负有责任的定价制度”,并且交易费用为零,不同的初始产权界定间,也是没有可比性的。事实上,《科斯定理真是产权清晰的么》已经论证,在“对损害不负责任的定价制度”里,即使交易费用为零,也不可能界定产权。

“科斯定理”的得出,其实是因为科斯的失误,或者说偷换概念:他居然把资源配置最优化误解或歪曲为产值最大化——而产值最大化不需要上面的必要条件,无论在什么情况下,只要能求解出来,就可以进行比较。当然,有人可能辩解说,科斯对“资源配置最优化”的定义就是“产值最大化”,只是他这个定义和通常的不一样,其他经济学家误解了;但如果这样的话,通篇使用“产值最大化”会更简单明了,何必还要混用呢?或许,这样的误解,正是他希望的?

最后要说的是,如果没有偷换概念的话,特别是可归于(2)的悖论,其实能转化为一个用反证法证明的问题。比如“说谎者悖论”,可以这样转化,试用反证法证明——不可能只根据“我在说谎”这句话来判断其真假。证明大致如下:先假设能只根据这句话自身判断真假,再假设它假将推出它真,假设它真又推出它假;但一个命题不可能既真又假,所以前提假设错误,论题得证。

总之,悖论说到底还是概念的问题,要考察一个悖论,我们不妨先从其概念是否具有可操作性入手。

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参考文献

[1]杜珣. 现代数学引论[M]. 北京大学出版社,1998.

[2]黄汝广. 科斯定理真是产权清晰的么[J]. 南方论刊,2014(01).

(作者单位:深圳南天电力有限公司)