在探索规律过程中感悟数学思想

  • 投稿山羊
  • 更新时间2015-08-30
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江苏张家港市泗港小学(215600) 高 燕

[摘 要]“找规律”是一个让学生探究事物之间的内在联系或变化趋势的过程。数学思想是数学学习目标之一,因此应特别关注学生在探索规律过程中对数学思想的感悟,在教学中增加数学思维的渗透。

[关键词]探索 规律 感悟 思想

[中图分类号] G623.5  [文献标识码] A  [文章编号] 1007-9068(2015)02-056

数学课程标准修订稿把“四基”:基本知识、基本技能、基本思想、基本活动经验作为目标体系。数学基本思想是数学学习目标之一,其重要性不言而喻。“找规律”是一个让学生探究事物之间的内在联系或变化趋势的过程。随着新课程研究的深入,人们越来越深刻地认识到这一内容所蕴含的丰富内涵和教育价值。但在实际教学中,普遍存在着“重规律的获得,轻过程的寻找;重规律的运用,轻思想的探寻”。“找规律”不仅要关注学生是否能理解并尝试运用规律,还应特别关注学生在探索规律过程中对数学思想的感悟。笔者结合苏教版五年级下册“简单图形覆盖现象的规律”的教学实践,谈谈对小学生数学思想的渗透。

一、有效亲历发现的过程,感悟数学思想

数学思想方法是一种基于数学知识又高于数学知识的隐性知识,它比数学知识更抽象。因此,需要为学生设计一些生动、有趣的数学活动,在活动中展开观察、操作、实验、猜测、推理与交流,充分感悟数学思想方法的奇妙与作用。那么,我们在设计活动时该如何关注数学思想呢?

找规律,重在“找”,找就得让学生亲历“找”的过程。教师应帮助学生在找规律的过程中学会探究规律的方法,积累数学活动经验,感悟数学思想方法,才能充分彰显找规律的教育价值。为此,在教学“找规律”的新授环节,我着重引导学生进行三次探索:

第一次探索:了解平移,感知规律

找出图形覆盖现象中的规律,难点是根据平移的次数,推算出被图形覆盖的总次数。在引导学生寻找“张数”与“拿法”关系时,我将电影票用数进行编号,通过“符号化”,抽象成框数字问题,将一个现实问题转化成数学问题,为渗透数学建模思想做准备。“头脑不是一个等待填满的容器,而是一支等待燃烧的火把。”在探究规律过程中,教师要注意充分调动学生的生活经验,引导学生用多种方法寻找规律,鼓励学习方式多样化,使学生的主体地位得到真正的回归与确立。比如,在寻找“从10张电影票中拿两张连号票,共有多少种不同的拿法”时,有的学生用连线,有的用圈数,有的用一一列举,有的用框数字的方法。魅力源自生活提炼,教师鼓励学生用自己的生活经验表达对规律的理解,让学生充分亲历规律的发现过程,体会有序思考的价值。学生在操作的基础上清楚地了解了“平移”的方法,为后面的探究过程扫除了认知障碍,并初步感知“平移的次数”和“一共有几种拿法”之间的关系。

第二次探索:猜想验证,发现规律

首先,注重体验感悟,逐步抽象。“每次拿3张连号的票,会有多少种不同的拿法”是学生在本节课中的第二次操作,至此学生已隐隐感觉到有一种内在规律,但还处于“口欲言而不能达”的不确定状态。教师结合课件形象化的动态演示,引导学生观察前面两次操作得到的拿法和平移的次数、每次拿票张数之间的变化关系。接着顺势提出“如果每次拿4张或5张连号的票,能分别得到多少种不同的拿法”后,并没有让学生进行操作,而是让学生先猜想,顺应学生的学习状态,符合学生的认知规律,再通过演示平移验证发现的规律。接着教师引导学生在有序思考的基础上观察表格,用数学语言表达发现的规律,再逐级抽象成数学符号,即用“算式计算”,能用数学语言表达算式内涵,初步感知数学模型思想。其次,利用数形结合,发展思维。著名数学家华罗庚说过:“数缺形时少自觉,形缺数时难入微,数形结合百般好,隔断分家万事难。”数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质。“算法”的抽象,应建立在形象的模型的基础之上。如:在用课件验证学生的猜想后,教师引导学生回顾用框平移的过程,再观察表格中的数据,此时学生的形象思维与抽象思维齐头并进,有助于学生用更准确的数学语言表达发现的规律。相信如果没有形象的支撑,学生的理解也许最终会演变为套模式解题。

第三次探索:归纳类推,完善认知

在学生用数学语言总结出发现的规律后,我设计了如下的教学环节:

(一)试一试

1.如果将电影券的总张数由10张增加到15张,你能用刚才发现的规律直接说说每次拿两张连号券,一共有多少种拿法吗?

2.如果每次拿3张或4张呢?

(二)练一练

1.下面是小红设计的一条花边,每次给相邻两个方格盖上红色透明纸,一共有多少种不同的盖法?

2.这道题和刚才的题目有区别吗?

3.书上也有一条红色的花边,试着独立解答。

4.如果给紧连的3个方格盖上红色透明纸,一共有多少种不同的盖法?每次盖上5个方格呢?

(三)完善认知,深化思维

1.如果方格不是13个,而是n个,每次给相邻的两个方格盖上红色透明纸后,一共有多少种不同的盖法?用字母列式表示。

2.如果一共有n个方格,每次给相邻的a个方格盖上红色透明纸,一共有多少种不同的盖法?你会用字母列式表示吗?

3.揭示课题:简单图形覆盖的规律。(板书:图形覆盖)

【思考】著名数学教育家弗兰登塔尔曾说:“任何熔岩将凝固,任何思辨的新生事物都在其自身中包含着算法的萌芽,这是数学的特点……算法化意味着巩固,意味着由一个平台向更高点的跳跃。”经过前面两次探索,学生对规律有了感性的了解,初步感知“算法化”。在进行第三次探索过程中,教师很快把学生的目光由10个数引向15、13个数,学生的思维也不断被引向深入。从用“框数字”平移的方法找规律,到将规律“算法化”,再到用“字母式子“概括规律,学生初步体会建立数学模型的过程,即从具体到抽象,从特殊到一般,逐步揭示数量之间的内在联系,并用数学化的形式表示规律,从而把思维和推理提高到一个更高的层次。

二、在实践反思、灵活应用中提炼数学思想

数学思想方法的获得,一是来自于教师有意识的渗透和训练,二是靠学生自身反思过程中的领悟。在数学教学中,教师应该关注问题解决的一般过程,培养学生应用数学思想方法解决问题的策略,更应该在解决问题以后有意识地“引导学生表述解决问题的思路”“重视引导学生交流与反思”,逐步形成反思的习惯,“促进学生将解决问题的方法策略内化为个人的数学素养”。只有这样,才能对数学思想方法有所认识,由此对数学的理解一定会由量的积累发展到质的飞跃。

比如在揭示出图形覆盖的规律后,我让学生回过头来用发现的规律解决课一开始提出的问题:“从100张连号票中,每次拿两张连号票,有多少种不同的拿法?”在验证学生的猜测之后,组织学生反思解决问题的思维过程,并以图文结合的方法清晰地展现出来:明确问题——猜测——探究规律——建立模型——验证——解决问题。紧接着我又抛出一个问题:“同学们,回顾我们解决问题的过程,我们还从中学到了什么?”沉默一会,有学生领会了,说:“我主要学会了研究问题的方法。”我点点头说:“是呀,究竟一共有多少种拿法并不重要,重要的是我们共同经历了研究问题的过程,对于复杂的图形覆盖的规律问题,我们可以通过猜测,采用化繁为简的方法将其转化成比较简单的问题,再通过探究,发现规律,解决问题,验证我们的猜测,这是解决科学问题的一个重要方法。”有了这样的反思,将图形覆盖问题中蕴含的数学方法和策略直观呈现,强化了学生的认知,拓展解决问题的策略和方法,形成策略意识。

在让学生感受了图形覆盖问题的解决策略后,我设计了一系列座位的变式问题:

(1)同学们,我们学校的礼堂一排有13个座位。要让唐明雨和茆雪她俩坐在一起,并且唐明雨在茆雪的右边,在同一排有多少种不同的坐法?

(2)高老师坐在她俩的中间,有多少种不同的坐法?

(3)还是让她俩坐在一块,去掉一个条件“唐明雨在茆雪的右边”,其他条件不变,有多少种不同的坐法?为什么?

(4)当唐明雨和茆雪来到礼堂时,这一排已经坐了另一名同学。(课件演示)如果1号座位已经有人坐了,唐明雨还是在茆雪的右边,一共有多少种不同的坐法?

(5)如果这一排6号位置已经有人坐了,唐明雨还是在茆雪的右边,一共有多少种不同的坐法?

教师引导学生不断进行变式训练,进一步运用“化归思想”迁移解决类似图形覆盖问题,在解决问题的过程中进一步体会数学模型的价值,增强学生的建模意识和应用规律的能力。

“数学思想方法是自然而平和的,我们不能把活生生的数学思考变成一堆符号让学生去死记,以至让美丽的数学淹没在形式化的海洋里。”(张奠宙)从数学思想方法的特点和形成过程来说,对学生数学思想方法的渗透不是立竿见影的,而是一个不断渗透、循序渐进、由浅入深的过程。要真正发挥数学教材渗透数学思想方法的作用,需要数学教师进一步更新观念,加强学习,促进自身数学素养的不断提升;深入研读教材,提高思想方法渗透的自觉性,把握渗透的可行性,注重渗透的反复性,让学生的数学思维能力得到切实、有效的发展,进而“通过数学学习帮助学生学会数学思维”。

(责编 罗 艳)